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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 40

Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.

y ( 4 ) + y ' ' = 0 ;   1 , x ,   cos ⁡ x , sen ⁡ x     ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E precisam satisfazer a EDO em questão.

Vamos ver primeiro se elas satisfazem a EDO...

Para y 1 = 1 , temos:

y 1 ' ' = 0

y 4 = 0

Substituindo na EDO, temos:

y 4 + y ' ' = 0

0 + 0 = 0

0 = 0

Então é uma solução.

Passo 2

Para y 2 = x , temos:

y 2 ' = 1

y 2 ' ' = 0

y 2 ' ' ' = 0

y 2 4 = 0

Substituindo na EDO:

y ( 4 ) + y ' ' = 0

0 + 0 = 0

0 = 0

Então ela satisfaz a equação. Vamos ver a outra...

Passo 3

Para y 3 = cos ⁡ x , temos:

y 3 ' ' = - cos ⁡ x

y 3 4 = cos ⁡ x

Substituindo na EDO:

y 4 + y ' ' = 0

cos ⁡ x - cos ⁡ x = 0

0 = 0

E assim vemos que ela também satisfaz a equação😉

Passo 4

Vamos ver para y 4 = sen ⁡ x :

y 4 ' ' = - sen ⁡ x

y 4 ( 4 ) = sen ⁡ x

Substituindo na EDO:

y ( 4 ) + y ' ' = 0

sen ⁡ x - sen ⁡ x = 0

0 = 0

Então também é solução!

Passo 5

Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = 1 x sen ⁡ x 0 1       cos ⁡ x           0 0 - sen ⁡ x     cos ⁡ x - sen ⁡ x - cos ⁡ x

= 1 ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 6

Então agora, de acordo com a definição 4.4, temos que a solução geral é dada por:

y = c 1 + c 2   x + c 3 sen ⁡ x + c 4 cos ⁡ x

E prontinho! Terminamos por aqui 😉

Resposta

y = c 1 + c 2   x + c 3 sen ⁡ x + c 4 cos ⁡ x

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