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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 41

Nos problemas 41-44, verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não homogênea no intervalo indicado.

y ' ' - 7 y ' + 10 y = 24 e x

y = c 1 e 2 x + c 2 e 5 x + 6 e x   ,   ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 1

E aí, tudo bem?

Olha só, olhando pra essa função aqui:

y = c 1 e 2 x + c 2 e 5 x + 6 e x

A gente tem que verificar que e 2 x   e   e 5 x são um conjunto fundamental de soluções e que 6 e x é uma solução particular.

Vamos ver isso então...

Passo 2

Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E precisam satisfazer a EDO em questão.

Vamos ver primeiro se elas satisfazem a EDO...

Para y 1 = e 2 x , temos:

y 1 ' = 2 e 2 x

y 1 ' ' = 4 e 2 x

Substituindo na EDO homogênea associada:

y ' ' - 7 y ' + 10 y = 0

4 e 2 x - 14 e 2 x + 10 e 2 x = 0

0 = 0

Então ela satisfaz a equação. Vamos ver a outra...

Passo 3

Para y 2 = e 5 x , temos:

y 2 ' = 5 e 5 x

y 2 ' ' = 25 e 5 x

Substituindo na EDO:

y ' ' - 7 y ' + 10 y = 0

25 e 5 x - 35 e 5 x + 10 e 5 x = 0

0 = 0

Então vimos que também é solução! 😉

Passo 4

Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:

W = e 2 x e 5 x 2 e 2 x 5 e 5 x

= 5 e 7 x - 2 e 7 x

= 3 e 7 x ≠ 0

Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.

Passo 5

Agora temos que ver se 6 e x é uma solução particular. Vamos ver:

y p = 6 e x

y p ' = 6 e x

y p ' ' = 6 e x

Substituindo...

y ' ' - 7 y ' + 10 y = 24 e x

6 e x - 42 e x + 60 e x = 24 e x

24 e x = 24 e x

Então, é uma solução particular sim!

Sendo assim, verificamos que a família y = c 1 e 2 x + c 2 e 5 x + 6 e x é solução para a EDO! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas 11 e 12, encontre uma segunda solução para a equação diferencial se y 1 x é uma dada solução.11. y ' ' + 4 y = 0 ,y 1 = cos ⁡ 2 x
15. y^(' ' ') + 10 y^(' ') + 25 y^' = 0
Nos problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.16. 2 y ' ' ' + 9 y ' ' + 12 y ' + 5 y = 0
Nos problemas 13-18, encontre a solução geral para cada equação diferencial.18. 2 y ' ' ' ' + 3 y ' ' ' + 2 y ' ' + 6 y ' - 4 y = 0
No método dos coeficientes indeterminados, a forma da solução particular y p para y ' ' - y = 1 + e x é __________.