Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 41
Nos problemas 41-44, verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não homogênea no intervalo indicado.
Passo 1
E aí, tudo bem?
Olha só, olhando pra essa função aqui:
A gente tem que verificar que são um conjunto fundamental de soluções e que é uma solução particular.
Vamos ver isso então...
Passo 2
Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes. E precisam satisfazer a EDO em questão.
Vamos ver primeiro se elas satisfazem a EDO...
Para , temos:
Substituindo na EDO homogênea associada:
Então ela satisfaz a equação. Vamos ver a outra...
Passo 3
Para , temos:
Substituindo na EDO:
Então vimos que também é solução! 😉
Passo 4
Agora vamos ver se elas são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:
Então vimos que as funções são LI, e, portanto, são um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.
Passo 5
Agora temos que ver se é uma solução particular. Vamos ver:
Substituindo...
Então, é uma solução particular sim!
Sendo assim, verificamos que a família é solução para a EDO! 😉
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)