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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 6

Um capital C = C t está crescendo a uma taxa d C d t proporcional a C . Sabe-se que o valor do capital no instante t = 0 era de R $   20.000 e 1 ano após, R $ 60.000 . Determine o valor do capital no instante t .(Suponha t dado em anos).

Passo 1

Ele diz que a taxa em que o capital cresce é proporcional a C , ou seja:

d C d t ∝ C

Assim, podemos colocar uma constante de proporcionalidade:

d C d t = α C

E calcular a integral agora como uma EDO de primeira ordem:

d C d t = C g t + f t

Teremos esse resultado:

C = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Precisamos deixar nesse formato então:

d C d t = α C

Ou seja, f t = 0

Passo 2

Agora precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com C e o outro lado o f t , o fator integrante será:

e - ∫ g t d t

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ α d t = e - α t

Assim fazemos:

d C d t - C g t = f t

d C d t - C g t e - ∫ g t d t = f t e - ∫ g t d t

Vemos que d C d t - C g t e - ∫ g t d t nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d C e - ∫ g t d t d t = d C d t - C g t e - ∫ g t d t

Assim:

d C e - ∫ g t d t d t = f t e - ∫ g t d t

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d C e - ∫ g t d t d t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

C e - ∫ g t d t + k = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

C e - ∫ g t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t + k

Por fim:

C = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Passo 3

Para o nosso caso teremos:

C = k e α t + e α t ∫ 0 e - α t d t = k e α t

Agora precisamos achar o valor de k , para isso camos usar a informação dada que C 0 = 20.000   e     p a r a   C 1 = 60.000 :

20.000 = k e α 0 = k

60.000 = 20.000 e α ( 1 ) = 20.000 e a → e a = 3 → α = ln ⁡ 3

Substituindo:

C = 20.000 e ln ⁡ 3 t = 20.000 e ln ⁡ 3 t = 20.000 ( 3 t )

Resposta

C = 20.000 ( 3 t )

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