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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 2b

Suponha E , R e C constantes não nulas. Resolva a equação.

R (d Q)/(d t) + (Q)/(C) = E

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

(d Q)/(d t) = Q g (t) + f (t)

Teremos esse resultado:

Q = k e^(int g (t) d t) + e^(int g (t) d t) int f (t) e^(- int g (t) d t) d t (k in R)

Precisamos deixar nesse formato então:

R (d Q)/(d t) + (Q)/(C) = E

R (d Q)/(d t) = E - (Q)/(C)

(d Q)/(d t) = (E)/(R) - (Q)/(C R)

Passo 2

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com x e o outro lado o f (t) , o fator integrante será:

e^(- int g (t) d t)

Para o nosso caso o fator integrante será:

e^(- int - (1)/(R C) d t) = e^((t)/(R C))

Assim fazemos:

(d Q)/(d t) - Q g (t) = f (t)

[(d Q)/(d t) - Q g (t)] e^(- int g (t) d t) = f (t) e^(- int g (t) d t)

Vemos que [(d Q)/(d t) - Q g (t)] e^(- int g (t) d t) nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

(d (Q e^(- int g (t) d t)))/(d t) = [(d Q)/(d t) - Q g (t)] e^(- int g (t) d t)

Assim:

[(d (Q e^(- int g (t) d t)))/(d t)] = f (t) e^(- int g (t) d t)

Agora faremos integral dos dois lados:

int [(d (Q e^(- int g (t) d t)))/(d t)] d t = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t

Q e^(- int g (t) d t) + k = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

Q e^(- int g (t) d t) = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t + k

Passo 3

Por fim:

Q = k e^(int g (t) d t) + e^(int g (t) d t) int f (t) e^(- int g (t) d t) d t (k in R)

Para o nosso caso teremos:

Q = k e^(- (t)/(R C)) + e^(- (t)/(R C)) int (E)/(R) e^((t)/(R C)) d t = k e^(- (t)/(R C)) + (E C R)/(R) e^(- (t)/(R C)) (e^((t)/(R C))) = k e^(- (t)/(R C)) + E C

Resposta

Q = k e^(- (t)/(R C)) + E C

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Em cada um dos problemas de 7 a 14, verifique se cada função dada é solução da equação diferencial . y ' - 2 t y = 1, y = e t 2 ∫ 0 t e - s 2 d s+ e t 2