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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 4

Um objeto aquecido a 100   ° C é colocado em um quarto a tempetarua ambiente de 20 ° C ; um minuto após a temperatura passa do objeto passa a 90 ° C . Admitindo (lei de resfriamento de newton) que a T = T t do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto, isto é,

d T d t = α T - 20 α   c o n s t a n t e

Determine a temperatura do objeto no instante t (suponha t dado em minutos)

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d T d t = T g t + f t

Teremos esse resultado:

T = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Precisamos deixar nesse formato então:

d T d t = α T - 20

d T d t = α T - 20 α

Passo 2

Agora precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com T e o outro lado o f t , o fator integrante será:

e - ∫ g t d t

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ α d t = e - α t

Assim fazemos:

d T d t - T g t = f t

d T d t - T g t e - ∫ g t d t = f t e - ∫ g t d t

Vemos que d T d t - T g t e - ∫ g t d t nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d T e - ∫ g t d t d t = d T d t - T g t e - ∫ g t d t

Assim:

d T e - ∫ g t d t d t = f t e - ∫ g t d t

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d T e - ∫ g t d t d t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

T e - ∫ g t d t + k = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

T e - ∫ g t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t + k

Por fim:

T = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Passo 3

Para o nosso caso teremos:

T = k e α t + e - α t ∫ - 20 α e - α t d t = k e α t - 20 α × - 1 α e α t e - α t = k e α t + 20

Agora precisamos achar o valor de k , para isso camos usar a informação dada que T 0 = 0 e que T 1 = 90 :

10 0 = k e α 0 + 20 = k + 20 → k = 80

9 0 = 80 e α 1 + 20 → 70 = 80 e α → e α = 7 0 8 0 = 7 8 → α = ln ⁡ 7 8    

Substituindo:

T t = 80 e ln ⁡ 7 8 t + 20 = 80 e ln ⁡ 7 8 t + 20

T t = 80 7 8 t + 20

Resposta

T t = 80 7 8 t + 20

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