Nos problemas 48 e 49, use os resultados do Problema 47.

Se y1 e y2 são duas soluções para

(1 - x^2) * y'' - 2 * x * y' + n(n + 1)y = 0

Em (-1,1) , mostre que W(y1, y2) = c / (1 - x^2) , em que c é uma constante.

Passo 1

Pra resolver isso aqui a gente vai usar a fórmula de Abel que provamos ali no número 47:

W = c e - ∫ a 1 x a 2 x   d x

Na nossa equação:

1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + n n + 1 y = 0

Então identificamos:

a 2 x = ( 1 - x 2 )

a 1 x = - 2 x

Passo 2

Substituindo na fórmula:

W = c e - ∫ - 2 x ( 1 - x 2 )   d x

W = c e - ln ⁡ 1 - x 2

W = c 1 - x 2 - 1

W = c 1 - x 2

E provamos o que foi pedido😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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