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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.Exercícios de Revisão - Ex. 5

Nos problemas 5-8, verifique que a função indicada é uma solução para a equação diferencial dada.

y ' + 2 x y = 2 + x 2 + y 2 ; y = x + t g   x

Passo 1

Vamos lá, queremos verificar que y = x + t g   x é uma solução para a equação diferencial y ' + 2 x y = 2 + x 2 + y 2 .

Para isso, vamos substituir y por x + t g   x na nossa equação e verificar que a igualdade é verdadeira.

x + t g   x ' + 2 . x . x + t g   x = 2 + x 2 + ( x + t g   x ) ²

Usando as técnicas de derivação lá de cálculo 1, sabemos que x + t g   x ' = 1 + s e c ² ( x ) :

1 + s e c ² ( x ) + 2 . x . x + t g   x = 2 + x 2 + ( x + t g   x ) ²

Fazendo o chuveirinho:

1 + s e c 2 x + 2 x 2 + 2 x . t g   x = 2 + x 2 + ( x + t g   x ) ²

Temos uma identidade trigonométrica que fala que 1 + t g 2 x = s e c 2 ( x ) , vamos substituir:

1 + 1 + t g 2   x + 2 x 2 + 2 x . t g   x = 2 + x 2 + ( x + t g   x ) ²

2 + 2 x 2 + 2 x . t g   x + t g 2   x = 2 + x 2 + ( x + t g   x ) ²

Ok, mas 2 x 2 = x 2 + x ² , certo? Então:

2 + x 2 + x ² + 2 x . t g   x + t g 2   x = 2 + x 2 + ( x + t g   x ) ²

Pra finalizar, x ² + 2 x . t g   x + t g 2   x pode ser fatorado como um produto notável ( x + t g   x ) ² :

2 + x 2 + ( x + t g   x ) ² = 2 + x 2 + ( x + t g   x ) ²

Então, a igualdade está comprovada hehehe

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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