Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c₁ e c₂ são constantes).

y'' + y = tg(x); y = -cos(x) + ln(sec x + tg(x))

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se   y = - cos ⁡ x ln ⁡ s e c   x + tg ⁡ x   é solução da equação y ' ' + y = tg ⁡ x . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Já temos y , vamos descobrir quem é   y ' ' . Vamos derivar então! Vem comigo!

Passo 2

y = - cos ⁡ x ln ⁡ s e c   x + tg ⁡ x

Pra derivar isso, temos que usar regra do produto e regra da cadeia...

y ' = - cos ⁡ x ' ( ln ⁡ ( s e c   x + tg ⁡ x ) ) + cos ⁡ x ln ⁡ s e c   x + tg ⁡ x '

y ' = sen ⁡ x ( ln ⁡ s e c   x + tg ⁡ x ) + cos ⁡ x 1 s e c   x + tg ⁡ x s e c   x tg ⁡ x + s e c 2 x ⏟

y ' = sen ⁡ x ( ln ⁡ s e c   x + tg ⁡ x ) + cos ⁡ x s e c   x

y ' = sen ⁡ x ( ln ⁡ s e c   x + tg ⁡ x ) - 1

Derivando de novo, temos:

y ' ' =   cos ⁡ x ln ⁡ s e c   x + tg ⁡ x + tg ⁡ x

Passo 3

Vamos substituir na equação agora...

y ' ' + y = tg ⁡ x

cos ⁡ x ln ⁡ s e c   x + tg ⁡ x - tg ⁡ x - cos ⁡ x ln ⁡ s e c   x + tg ⁡ x = tg ⁡ x

tg ⁡ x = tg ⁡ x

Prontinho! Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função é solução! 😉

Resposta

É solução.

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