Nos problemas 59 e 60, encontre a solução geral para a equação dada, em que y₁ é uma solução conhecida.

60. y''' + 6y'' + y' - 34y = 0; y1 = e^(-4x) * cos(x)

Passo 1

Então galera, a solução conhecida que nos foi dada é a seguinte:

y 1 = e - 4 x cos ⁡ x

Se lembrarmos bem esse tipo de solução tem essa cara:

y = e a x c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x

Uma das constantes é zero, o que implica que:

m = - 4 ± i

Ou seja:

m 1 = - 4 + i

m 2 = - 4 - i

Aqui vale ressaltar que esse resultado sai daqui ó:

m 1,2 = a ± b i

Tudo bem? Show de bola!

Passo 2

Para a equação diferencial que nos foi dada vamos fazer as substituições que já estamos acostumados, saca só:

y ' ' ' = m 3 ,   y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1

Substituindo:

m 3 + 6 m 2 + m - 34 = 0

Das raízes do passo 1 nós tiramos que:

m 1 . m 2 = 0

Logo:

m + 4 - i m + 4 + i = 0

Abrindo isso aí nós teremos:

m 2 + 8 m + 17 = 0

Igualando com a nossa expressão de grau 3:

m 3 + 6 m 2 + m - 34 = m 2 + 8 m + 17 = 0

Dividindo tudo por m 2 + 8 m + 17 teremos:

m - 2 = 0

∴ m = 2

Passo 3

Já que a raíz encontrada é real, a solução para essa raíz terá a cara:

y = c 3 e m 1 x

Juntando todas as soluções, teremos:

y = e a x c 1 cos ⁡ b x + c 2 s e n   b x + c 3 e m 1 x

Substituindo:

y = e - 4 x c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x + c 3 e 2 x

E é isso! 😉

Resposta

y = e - 4 x c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x + c 3 e 2 x

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