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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 18

No Problema 17, encontre a corrente quando o circuito está em ressonância.

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Aqui a gente vai fazer de acordo com a equação do Problema 17.

Quando o circuito está em ressonância, ele tem a forma:

q p t = A t cos ⁡ k t + B t s e n   k t

Onde k = 1 L C .

E aí, temos:

q p ' ' + k 2 q =   - 2 k A s e n   k t + 2 k B cos ⁡ k t = E 0 L cos ⁡ k t

Passo 2

Daí encontramos:

A = 0   e   B = E 0 2 k L

A equação então é:

q t = c 1 cos ⁡ k t + c 2 sen ⁡ k t + E 0 2 k L t sen ⁡ k t

Aplicando as condições iniciais, q 0 = q 0   e   q ' 0 = i 0 , temos:

c 1 = q 0   e   c 2 = i 0 k

E então a carga é:

q t = q 0 cos ⁡ k t + i 0 k sen ⁡ k t + E 0 2 k L t sen ⁡ k t

E derivando, encontramos a corrente:

i t = E 0 2 k L - q 0 k sen ⁡ k t + i 0 cos ⁡ k t + E 0 2 L t cos ⁡ k t

Resposta

q t = q 0 cos ⁡ k t + i 0 k sen ⁡ k t + E 0 2 k L t sen ⁡ k t

i t = E 0 2 k L - q 0 k sen ⁡ k t + i 0 cos ⁡ k t + E 0 2 L t cos ⁡ k t

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