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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 5

Nos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 1 1 1 2 1 - 1 0 - 1 1 x

Passo 1

Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 1 1 1 2 1 - 1 0 - 1 1 - r 0 0 0 r 0 0 0 r

det ⁡ A - r I = 1 - r 1 1 2 1 - r - 1 0 - 1 1 - r

det ⁡ A - r I = - r 3 + 3 r 2 - 4

Tendo as raízes:

r 1 = - 1

r 2,3 = 2

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 1 , temos:

A - r I ξ = 0

2 1 1 2 2 - 1 0 - 1 2 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Para r = - 1 :

ξ 1 = - 3 2 2 1

Para r = 2 :

- 1 1 1 2 - 1 - 1 0 - 1 - 1 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

ξ 2,3 = 0 1 - 1 , 1 1 0

Passo 2

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t + c 3 x 3 ( t )

Em que:

x ( 1 ) t = - 3 2 2 1 ∙ e - t

E:

x 2 t = 0 1 - 1 ∙ e 2 t

Para terceira parte:

x 3 t = 1 1 0 ∙ e 2 t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 - 3 2 2 1 ∙ e - t + c 2 0 1 - 1 ∙ e 2 t + c 3 1 1 0 ∙ e 2 t

Resposta

x = c 1 - 3 2 2 1 ∙ e - t + c 2 0 1 - 1 ∙ e 2 t + c 3 1 1 0 ∙ e 2 t

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