Em alguns problemas de deformação, o parâmetro autovalor aparece nas condições de contorno, além da equação diferencial. Tal caso ocorre quando a coluna está presa em uma extremidade e a outra extremidade está livre. Nesse caso, a equação diferencial y^4 + λy'' = 0 tem que ser resolvida sujeita ás condições de contorno

y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(L) = 0, y'''(L) + λy'(L) = 0.

Encontre o menor autovalor e a autofunção correspondente.

Passo 1

Como visto no problema 25, a solução geral é:

y x = c 1 + c 2 x + c 3 cos ⁡ μ x + c 4 s e n   μ x

Passo 2

Impondo as condiões de controno nós obtemos o sistema de equações:

c 2 = 0 c 1 + c 3 = 0 c 2 + μ c 4 = 0 c 3 cos ⁡ μ L + c 4   s e n   μ L = 0

Para obtermos uma solução possível, precisamos que cos ⁡ μ L   seja igual a zero.

Consluímos então que c 2 = c 4 = 0 , logo, a autofunção é:

ϕ n x = 1 - cos ⁡ λ n   x

O autovalor correspondente é:

λ n = 2 n - 1 2 π 2 4 L 2

Para tono n inteiro e maior que zero.

O menor autovalor então é:

λ 1 = π 2 4 L 2

Resposta

ϕ n x = 1 - cos ⁡ λ n   x   ;   λ 1 = π 2 4 L 2

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