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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 16

Nos problemas16 e 17, estimeo erro de truncamentolocal para o método de Euler em termos da solução y ' = ϕ ( t ) . Obtenha uma cota para e n + 1 em termos de t e de ϕ ( t ) que seja válida no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 . Usando uma fórmula para a solução, obtenha uma cota mais precisa para e n + 1 . Para h   =   0,1 , calcule uma cota para e 1 e compare- a com oerro exato em t   =   0,1 . Calcule, também, uma cota para o erro e 4 no quarto passo.

16. y ' = 2 y - 1 ,     y 0 = 1

Passo 1

Bora lá pro nosso primeiro probleminha sobre método de R u n g e - K u t t a .

Olha só! Primeiramente, vamos obter a solução exata dessa E D O .

Para isso, vamos usar a artimanha abaixo

y ' = 2 y - 1

1 2 y - 1 y ' = 1

1 2 y - 1 ⋅ d y d t = 1

1 2 y - 1 d y = d t

Integrando os dois lados, ficamos com...

∫ 1 2 y - 1 d y = ∫ d t

1 2 ln ⁡ 2 y - 1 = t

ln ⁡ 2 y - 1 = 2 t

2 y - 1 = e 2 t

y = e 2 t + 1 2

Só trabalhamos com a solução exata aqui, viu!? Nada de constantes!

Logo, a nossa solução exata é...

ϕ t = e 2 t 2 + 1 2

Passo 2

Agora, vamos partir pra fórmula do erro de truncamento local para o método de Euler, que é dada por...

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' ( t - n ) h 2

Tirando a primeira derivada de ϕ t …  

ϕ ' t = e 2 t 2 + 1 2 '

ϕ ' t = e 2 t

Depois, a segunda derivada...

ϕ ' ' t = e 2 t '

ϕ ' ' t = 2 e 2 t

Temos que substituindo esses valores na fórmula do erro, ficamos com...

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' ( t - n ) h 2

e n + 1 = 1 2 ⋅ 2 ⋅ e 2 t - n h 2

e n + 1 = e 2 t - n h 2

Com t n ≤ t - n ≤ t n + 1

Passo 3

Como 0   ≤   t   ≤   1 , então o maior valor que o erro pode assumir é e 2 h 2 e ficamos com...

e n + 1 ≤   e 2 h 2

Agora, considerando a primeira iteração com h = 0,1 para o erro que chamaremos de e 1 ...

e n + 1 = e 2 t - n h 2

e 1 = e 2 ⋅ 1 ⋅ 0,1 ⋅ ( 0,1 ) 2

e 1 = e 0,2 100

e 1 ≈ 1,221 ⋅ 10 - 2

No caso do quarto passo, teríamos que...

e n + 1 = e 2 t - n h 2

e 4 = e 2 ⋅ 4 ⋅ 0.1 ⋅ ( 0,1 ) 2

e 4 = e 0.8 100

e 4 ≈ 2.225 ⋅ 10 - 2

Passo 4

Pra finalizar, vamos as comparações. Usando o método de E u l e r na equação do nosso caso...

y n + 1 = y n + h ( 2 y n - 1 )

Para a primeira iteração, temos que:

y n + 1 = y n + h ( 2 y n - 1 )

y 1 = y 0 + h ( 2 y 0 - 1 )

y 1 = 1.0 + 0.1 ⋅ ( 2 ⋅ 1.0 - 1 )

y 1 = 1.10000

Já o valor exato, vai ser igual à...

ϕ 0,1 = e 2 t 2 + 1 2

ϕ 0,1 = e 2 ⋅ 0.1 2 + 1 2

ϕ 0,1 = 1.11070179

De modo que o erro absoluto nesse caso, vai ser:

ϕ 0,1 - y 1 = 1.11070179 - 1.100000

ϕ 0,1 - y 1 = 1.0701 ⋅ 10 - 2

Podemos ver que a subtração, que é o erro absoluto, é menor do que o nosso erro de truncamento obtido para a primeira iteração, que foi...

e 1 = 1.221 ⋅ 10 - 2

Resposta

E r r o   d e   t r u n c a m e n t o → e n + 1 = e 2 t - n h 2 ,     e n + 1 ≤   e 2 h 2  

e 1 = e 0,2 100

e 4 ≈ 2.225 ⋅ 10 - 2

y 1 = 1.10000

ϕ 0,1 = 1.11070179

E r r o ϕ 0,1 - y 1 = 1.0701 ⋅ 10 - 2 < e 0,2 100

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13. Complete os cálculos que levam aos elementos nas colunas três e quatro da tabela 8.1 . 1
Em cada um dos problemasde 18 a 21 , obtenha uma fórmula para o erro de truncamento local para o método deEuler em termos de t e da solução ϕ .20. y ' = t + y , y 1 = 3
Em cada um dos problemasde 18 a 21 , obtenha uma fórmula para o erro de truncamento local para o método deEuler em termos de t e da solução ϕ .18. y ' = t 2 + y 2 , y 0 = 1
Em cada um dos problemasde 18 a 21 , obtenha uma fórmula para o erro de truncamento local para o método deEuler em termos de t e da solução ϕ .21. y ' = 2 t + e - t y , y 0 = 1
Em cada um dos problemasde 18 a 21 , obtenha uma fórmula para o erro de truncamento local para o método deEuler em termos de t e da solução ϕ .19. y ' = 5 t - 3 y , y 0 = 2