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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 11

11. Encontre uma segunda solução da equação de B e s s e l de ordem um calculando os c n ( r 2 ) e a da E q . ( 24 ) da Seção 5.6 de acordo com as fórmulas ( 19 )   e ( 20 ) daquela seção. Algumas diretrizes para esse cálculo são as seguintes: Primeiro use a E q . 24 desta seção para mostrar que a 1 ( - 1 ) e a ' 1 ( - 1 ) são iguais a zero. Depois mostre que c 1 - 1 = 0 e da relação de recorrência, que c n - 1 = 0 para n = 3,5 , ... Finalmente use a Eq. ( 25 ) para mostrar que

a 2 r = - a 0 r + 1 r + 3 ,     a 4 r = a 0 r + 1 r + 3 ( r + 3 ) ( r + 5 )

e que,

a 2 m r = ( - 1 ) m a 0 r + 1 ⋅ ⋅ ⋅ r + 2 m - 1 ( r + 3 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( r + 2 m + 1 ) ,     m ≥ 3

Depois mostre que,

c 2 m r = - 1 m + 1 ( H m + H m - 1 ) / 2 2 m m ! m - 1 !   ,     m ≥ 1

Passo 1

Ai Ai! Ta aí uma questão que vai dar trabalho, literalmente. Fazer o quê, né!? Vamos resolvê-la.

Olha só! A equação de B e s s e l de O r d e m   1 é dada por...

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 y = 0

E com base no problema 9 desta seção, já sabemos que as raízes da equação inicial são r 1 = 1 e r 2 = - 1 .

Agora como é de prache peguemos a já conhecida série abaixo...

y = x r a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . = x r ∑ n = 0 ∞ a n x n = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

E tacamos ela na nossa E D O . De modo a ficarmos com...

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 y = 0

x 2 ( r + n ) ( r + n - 1 ) ∑ n = 2 ∞ a n x r + n - 2 + x ( r + n ) ∑ n = 1 ∞ a n x r + n - 1 + x 2 - 1 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

( r + n ) ( r + n - 1 ) ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + ( r + n ) ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + x 2 - 1 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Pronto! Essa primeira parte de ajustar a E D O em função de série já foi!

Passo 2

Agora, com base no que obtemos anteriormente, vamos ajustar os índices da penúltima série. De modo a obtermos que:

∑ n = 0 ∞ ( r + n ) ( r + n - 1 ) a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ ( r + n ) a n x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

a 0 r r - 1 + r - 1 x r + a 1 r + 1 r + r + 1 - 1 + ∑ n = 2 ∞ [ r + n r + n - 1 a n + r + n a n - a n + a n - 2 ] x r + n = 0

Depois o que vamos fazer é igualar os coeficientes a zero. Se fizermos isso, a única saída possível pra essa expressãozona toda dar zero, é que...

a 1 r + 1 r + r + 1 - 1 = 0

Ou seja...

a 1 = 0

Voltando ao que interessa, descobrimos também que...

r + n r + n - 1 a n + r + n a n - a n + a n - 2 = 0

a n = - 1 r + n 2 - 1 ⋅ a n - 2

a n = - 1 r + n + 1 r + n - 1 ⋅ a n - 2

a n r = - 1 r + n + 1 r + n - 1 ⋅ a n - 2 r ,     n ≥ 2

Segue-se portanto que a 3 = a 5 =   . . . = a 2 m + 1 =   . . . = 0 . Obtemos assim, a seguinte relação de recorrência abaixo,

a 2 m ( r ) = ( - 1 ) m ( 2 m + r + 1 ) 2 m + r - 1 2 . . . r + 3 2 . . . ( r + 1 ) a 0

Passo 3

Como sabemos o valor da primeira raiz...

r = r 1 = 1

Sendo assim, temos que...

a 2 m ( 1 ) = ( - 1 ) m ( 2 m + 2 ) 2 m 2 . . . 4 2 . . . ( 2 ) a 0

a 2 m ( 1 ) = ( - 1 ) m 2 2 m m + 1 ! m ! a 0

Para uma segunda solução linearmente independente, bora seguir a discussão da Seção 5.6.

Como r 1   - r 2   =   N   =   2 , nos encontramos que...

a 2 r = - 1 r + 3 r + 1 ,

Com a 0 = 1 ... O coeficiente principal da nossa solução vai ser...

a = lim r → - 1 ⁡ ( r + 1 ) a 2 r = lim r → - 1 ⁡ r + 1 ⋅ - 1 r + 3 r + 1

= lim r → - 1 ⁡ - 1 r + 3 = - 1 2

De modo a ficarmos com,

r + 1 a 2 m r = ( - 1 ) m 2 m + r + 1 [ ( 2 m + r - 1 ) . . . ( 3 + r ) ] 2

Considerando que...

A n r = ( r + 1 ) a n ( r )

Segue-se que...

A ' 2 m ( r ) A 2 m ( r ) = - 1 2 m + r + 1 - 2 ⋅ 1 2 m + r - 1 + . . . + 1 3 + r

Passo 4

Já no caso de r = r 2 = - 1 , nos calculamos;

c 2 m - 1 = - 1 2 H m + H m - 1 A 2 m - 1 =

= - 1 2 H m + H m - 1 ( - 1 ) m 2 m + r + 1 [ ( 2 m + r - 1 ) . . . ( 3 + r ) ] 2 =

= - 1 2 H m + H m - 1 - 1 m 2 m 2 m - 2 … 2 2 =

= - 1 2 H m + H m - 1 - 1 m 2 2 m - 1 m ! m - 1 !

Notando que...

a 2 m + 1 r = 0

Isto implica que...

c 2 m + 1 - 1 = d d r A 2 m + 1 ( r ) r = r 2 = 0

E obtemos o seguinte resultado...

y 2 x = - 1 2 x ∑ m = 0 ∞ - 1 m m + 1 ! m ! x 2 2 m ln ⁡ x + 1 x 1 - ∑ m = 1 ∞ - 1 m H m + H m - 1 m ! m - 1 ! x 2 2 m

Baseado na definição que temos de J 1 ( x ) , então...

y 2 x = - J 1 ( x ) ln ⁡ x + 1 x 1 - ∑ m = 1 ∞ - 1 m H m + H m - 1 m ! m - 1 ! x 2 2 m

E pronto! Demorou pra caramba, mas deu certo!

Resposta

y 2 x = - J 1 ( x ) ln ⁡ x + 1 x 1 - ∑ m = 1 ∞ - 1 m H m + H m - 1 m ! m - 1 ! x 2 2 m

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