Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 16
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:
Função Cosecante A função cosecante de um ângulo é definida como o recíproco do seno desse ângulo, ou seja,
Identidade Trigonométrica:
- Essa é uma das identidades fundamentais da trigonometria, que relaciona o seno e o cosseno de um ângulo.
- Ao se aproximar de um valor fixo, como neste caso, podemos avaliar o limite substituindo diretamente o valor na expressão, desde que ela esteja bem definida nesse ponto.
Passo 2
Manipulação Inicial:
- Dado o limite
Substituímos
por
Simplificação da Expressão:
- Multiplicamos numerador e denominador por para eliminar resultando em
Aplicação da Identidade Trigonométrica:
- Utilizamos a identidade
para substituir transformando a expressão em
Passo 3
Simplificação e Avaliação do Limite:
- Simplificamos a expressão para
- Ao substituir para obtemos que é .
Utilizamos propriedades das funções trigonométricas, especialmente a relação entre seno e cosseno e a definição da função cosecante, juntamente com identidades trigonométricas, para simplificar a expressão original e avaliar o limite diretamente.
Não foi necessário aplicar a Regra de L'Hôpital, pois a expressão pôde ser simplificada para uma forma que permitiu a avaliação direta do limite.