Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.

lim x → π / 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ csc ⁡ θ

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos que encontrar o limite de:

lim x → π / 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ csc ⁡ θ

Função Cosecante csc ⁡ θ : A função cosecante de um ângulo ( θ ) é definida como o recíproco do seno desse ângulo, ou seja,

csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ

Identidade Trigonométrica:

- ( s i n 2 θ   =   1   -   c o s 2 θ ) : Essa é uma das identidades fundamentais da trigonometria, que relaciona o seno e o cosseno de um ângulo.

- Ao se aproximar de um valor fixo, como ( π / 2 ) neste caso, podemos avaliar o limite substituindo diretamente o valor na expressão, desde que ela esteja bem definida nesse ponto.

Passo 2

Manipulação Inicial:

- Dado o limite

lim x → π / 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ csc ⁡ θ

Substituímos

csc ⁡ θ

por

1 sin ⁡ θ

Simplificação da Expressão:

- Multiplicamos numerador e denominador por ( s i n θ ) para eliminar ( c s c θ ) ,   resultando em

lim x → π / 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ csc ⁡ θ

Aplicação da Identidade Trigonométrica:

- Utilizamos a identidade

( s i n 2 θ   =   1   -   c o s 2 θ )  

para substituir s i n 2 θ   , transformando a expressão em

lim x → π / 2 ⁡ sin ⁡ θ - 1 - cos 2 ⁡ θ

Passo 3

Simplificação e Avaliação do Limite:

- Simplificamos a expressão para

lim x → π / 2 ⁡ sin ⁡ θ - 1 + cos 2 ⁡ θ

- Ao substituir π 2 para θ , obtemos 1   –   1   +   0 2 , que é 0 .

Utilizamos propriedades das funções trigonométricas, especialmente a relação entre seno e cosseno e a definição da função cosecante, juntamente com identidades trigonométricas, para simplificar a expressão original e avaliar o limite diretamente.

Não foi necessário aplicar a Regra de L'Hôpital, pois a expressão pôde ser simplificada para uma forma que permitiu a avaliação direta do limite.

Resposta

lim x → π / 2 ⁡ 1 - sin ⁡ θ csc ⁡ θ = 0

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