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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 03

Calcule o limite, se ele existir

underset(x -> 1 // 2^-)(lim) (l n ( 1 - 2 x ))/(t g (pi x))

Passo 1

Esse limite parece até ser dificil, mas como diria Jack Estripador, vamos por partes. Sempre que formos calcular um limite nesse formato olhamos o limite da parte de cima e o limite da parte de baixo para ver se ele se encaixa em um dos formatos para aplicar a regra de L’Hôpital:

underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) l n (1 - 2 x) = - oo ; underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) t g (pi x) = + oo

Então podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) (l n (1 - 2 x))/(t g (pi x)) = underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) (- (2)/((1 - 2 x)))/(s e c^2 (pi x) pi) = underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) - (2 c o s^2 (pi x))/((1 - 2 x) pi)

Aplicando novamente a regra:

underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) - (2 c o s^2 (pi x))/((1 - 2 x) pi) = underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) - (4 c o s (pi x) (- s e n pi x) pi)/(- 2 pi) = 0

Resposta

underset(x -> 1 // 2^-)(lim) (l n ( 1 - 2 x ))/(t g (pi x)) = 0

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