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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 03

Calcule o limite, se ele existir

underset(x -> 1 // 2^-)(lim) (l n ( 1 - 2 x ))/(t g (pi x))

Passo 1

Esse limite parece até ser dificil, mas como diria Jack Estripador, vamos por partes. Sempre que formos calcular um limite nesse formato olhamos o limite da parte de cima e o limite da parte de baixo para ver se ele se encaixa em um dos formatos para aplicar a regra de L’Hôpital:

underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) l n (1 - 2 x) = - oo ; underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) t g (pi x) = + oo

Então podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) (l n (1 - 2 x))/(t g (pi x)) = underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) (- (2)/((1 - 2 x)))/(s e c^2 (pi x) pi) = underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) - (2 c o s^2 (pi x))/((1 - 2 x) pi)

Aplicando novamente a regra:

underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) - (2 c o s^2 (pi x))/((1 - 2 x) pi) = underset(x -> 1 // 2^-)(l i m) - (4 c o s (pi x) (- s e n pi x) pi)/(- 2 pi) = 0

Resposta

underset(x -> 1 // 2^-)(lim) (l n ( 1 - 2 x ))/(t g (pi x)) = 0

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Ilustre a regra de L’Hospital fazendo o gráfico de f x / g ( x ) e f ' x / g ' ( x ) próximo de x = 0 , para ver que essas razões têm o mesmo limite quando x → 0 . Calcule também o valor exato do limi
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ 2 x - 3 2 x +
Se f ' for contínua, use a regra de L’Hospital para mostrar que lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x - h ) 2 h = f ' ( x )
Se f ' for contínua, f 2 = 0 e f ' 2 = 7 , calcule lim x → 0 ⁡ f 2 + 3 x + f ( 2 + 5 x ) x
Se f ' ' for contínua, mostre queunderset(h - 0)(lim) (f (x + h) - 2 f (x) + f ( x - h ))/(h^2) = f ' ' ( x )