Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 20
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Oieee, bora resolver essa comigo?
O primeiro passo ao resolver limites é identificar a forma indeterminada.
As formas indeterminadas ocorrem quando a determinação exata do limite não pode ser obtida apenas substituindo o valor na função.
Uma das formas indeterminadas comuns é
Para o limite
- Conforme tende a tanto quanto tendem a
- Isso nos dá a forma indeterminada
Passo 2
A Regra de L'Hôpital é uma ferramenta valiosa para resolver limites de formas indeterminadas.
Ela nos permite calcular o limite de uma função indeterminada tomando o limite de suas derivadas desde que o limite exista.
A Regra de L'Hôpital afirma que se
é uma forma indeterminada
Então:
Passo 3
Após identificar uma forma indeterminada adequada e decidir aplicar a Regra de L'Hôpital, o próximo passo é calcular as derivadas das funções
Para
- A derivada de
- A derivada de
Passo 4
Depois de calcular as derivadas, substituímos esses resultados na expressão original e então avaliamos o limite.
Para o nosso limite inicial
Após aplicar a Regra de L'Hôpital, temos:
Passo 5
Finalmente, avaliamos o limite resultante conforme tende ao infinito.
- Agora temos o limite
- Conforme tende a também tende a
- Assim,
tende a
Dessa forma, o limite é