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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 93 f

Provar que:

(b) Se y = tgh x , então y^' = sech^2 x

Passo 1

Primeiro, temos que ver o que é a tangente.

tg x = (sen x)/(cos x)

Passo 2

Agora, temos que analisar que estamos trabalhando com funções hiberbólicas, temos que reescrever tg x como tgh x .

tgh x = (senh x)/(cosh x)

Reescrevendo as funções senh x e cos x , temos:

senh x = (e^x - e^(- x))/(2)

cosh x = (e^x + e^(- x))/(2)

Então, temos que:

tgh x = ((e^x - e^(- x))/(2))/((e^x + e^(- x))/(2))

Passo 3

Reelembrando que na divisão de frações mantemos a primeira e invertemos a segunda

tgh x = (e^x - e^(- x))/(2) * (2)/(e^x + e^(- x))

Podemos simplificar o 2 das duas frações e ficamos com

tgh x = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

Então, temos que

y = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

Passo 4

Podemos fazer a derivada de y = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)) um usando a derivada do quociente.

Passo 5

A equação para derivada do quociente é:

y = (u)/(v) ⟹ y^' = (u^' v - u v^')/(v^2)

Passo 6

Para

y = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

Temos que u = e^x - e^(- x) e v = e^x + e^(- x)

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = e^x - e^(- x)

u^' = e^x + 1 * e^(- x)

u^' = e^x + e^(- x)

Segundo v '

v = e^x + e^(- x)

v^' = e^x - 1 * e^(- x)

v ' = e^x - e^(- x)

Terceiro v^2

v = e^x + e^(- x)

v^2 = (e^x + e^(- x))^2

Passo 7

Agora vamos aplicar em y '

y^' = ((e^x + e^(- x)) * (e^x + e^(- x)) - (e^x - e^(- x)) * (e^x - e^(- x)))/((e^x + e^(- x))^2)

Realizando as distributivas:

1 ° Distributiva

(e^x + e^(- x)) * (e^x + e^(- x)) = e^x * e^x + e^x * e^(- x) + e^(- x) * e^x + e^x * e^x

(e^x + e^(- x)) * (e^x + e^(- x)) = e^(2 x) + e^0 + e^0 + e^(- 2 x)

(e^x + e^(- x)) * (e^x + e^(- x)) = e^(2 x) + 1 + 1 + e^(- 2 x)

(e^x + e^(- x)) * (e^x + e^(- x)) = e^(2 x) + 2 + e^(- 2 x)

2 ° Distributiva

(e^x - e^(- x)) * (e^x - e^(- x)) = e^x * e^x - e^x * e^(- x) - e^(- x) * e^(- x) + e^(- x) * e^(- x)

(e^x - e^(- x)) * (e^x - e^(- x)) = e^(2 x) - e^0 - e^0 + e^(- 2 x)

(e^x - e^(- x)) * (e^x - e^(- x)) = e^(2 x) - 1 - 1 + e^(- 2 x)

(e^x - e^(- x)) * (e^x - e^(- x)) = e^(2 x) - 2 + e^(- 2 x)

Passo 8

Aplicando na fórmula os resultados das distributivas temos

y^' = (e^(2 x) + 2 + e^(- 2 x) - (e^(2 x) - 2 + e^(- 2 x)))/((e^x + e^(- x))^2)

Desenvolvendo o cálculo temos:

y^' = (e^(2 x) + 2 + e^(- 2 x) - e^(2 x) + 2 - e^(- 2 x))/((e^x + e^(- x))^2)

Reorganizando temos:

y^' = (e^(2 x) - e^(2 x) + e^(- 2 x) - e^(- 2 x) + 4)/((e^x + e^(- x))^2)

Realizando as adições e subtrações

y^' = (4)/((e^x + e^(- x))^2)

Reescrevendo deixando tudo elevado ao quadrado

y^' = ((2)/(e^x + e^(- x)))^2

Passo 9

Observando o termo (2)/(e^x + e^(- x)) , podemos oberservar que se reescrevermos o inverso dele temos:

(e^x + e^(- x))/(2) = senh x

Então, temos que (2)/(e^x + e^(- x)) é o inverso da função seno hiperbólico. E o inverso do seno é a secante, como estamos trabalhando com funções hiberbólica temos:

(2)/(e^x + e^(- x)) = senh^(- 1) x = sech x

Passo 10

Podemos reescrever y^' , em termos de sech x

y^' = ((2)/(e^x + e^(- x)))^2 = (sech x)^2 = sec h^2 x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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