Provar que:

(b) Se y = tgh(x) , então y' = sech^2(x)

Passo 1

Primeiro, temos que ver o que é a tangente.

tg ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

Passo 2

Agora, temos que analisar que estamos trabalhando com funções hiberbólicas, temos que reescrever tg ⁡ x como tgh ⁡ x .

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

Reescrevendo as funções senh ⁡ x e cos ⁡ x , temos:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Então, temos que:

tgh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2

Passo 3

Reelembrando que na divisão de frações mantemos a primeira e invertemos a segunda

tgh ⁡ x = e x - e - x 2 ∙ 2 e x + e - x

Podemos simplificar o 2 das duas frações e ficamos com

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Então, temos que

y = e x - e - x e x + e - x

Passo 4

Podemos fazer a derivada de y = e x - e - x e x + e - x um usando a derivada do quociente.

Passo 5

A equação para derivada do quociente é:

y = u v ⟹ y ' = u ' v - u v ' v 2

Passo 6

Para

y = e x - e - x e x + e - x

Temos que u = e x - e - x e v = e x + e - x

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = e x - e - x

u ' = e x + 1 ∙ e - x

u ' = e x + e - x

Segundo v '

v = e x + e - x

v ' = e x - 1 ∙ e - x

v ' = e x - e - x

Terceiro v 2

v = e x + e - x

v 2 = e x + e - x 2

Passo 7

Agora vamos aplicar em y '

y ' = e x + e - x ∙ e x + e - x - e x - e - x ∙ e x - e - x e x + e - x 2

Realizando as distributivas:

1 ° Distributiva

e x + e - x ∙ e x + e - x = e x ∙ e x + e x ∙ e - x + e - x ∙ e x + e x ∙ e x

e x + e - x ∙ e x + e - x = e 2 x + e 0 + e 0 + e - 2 x

e x + e - x ∙ e x + e - x = e 2 x + 1 + 1 + e - 2 x

e x + e - x ∙ e x + e - x = e 2 x + 2 + e - 2 x

2 ° Distributiva

e x - e - x ∙ e x - e - x = e x ∙ e x - e x ∙ e - x - e - x ∙ e - x + e - x ∙ e - x

e x - e - x ∙ e x - e - x = e 2 x - e 0 - e 0 + e - 2 x

e x - e - x ∙ e x - e - x = e 2 x - 1 - 1 + e - 2 x

e x - e - x ∙ e x - e - x = e 2 x - 2 + e - 2 x

Passo 8

Aplicando na fórmula os resultados das distributivas temos

y ' = e 2 x + 2 + e - 2 x - e 2 x - 2 + e - 2 x e x + e - x 2

Desenvolvendo o cálculo temos:

y ' = e 2 x + 2 + e - 2 x - e 2 x + 2 - e - 2 x e x + e - x 2

Reorganizando temos:

y ' = e 2 x - e 2 x + e - 2 x - e - 2 x + 4 e x + e - x 2

Realizando as adições e subtrações

y ' = 4 e x + e - x 2

Reescrevendo deixando tudo elevado ao quadrado

y ' = 2 e x + e - x 2

Passo 9

Observando o termo 2 e x + e - x , podemos oberservar que se reescrevermos o inverso dele temos:

e x + e - x 2 = senh ⁡ x

Então, temos que 2 e x + e - x é o inverso da função seno hiperbólico. E o inverso do seno é a secante, como estamos trabalhando com funções hiberbólica temos:

2 e x + e - x = senh - 1 ⁡ x = sech ⁡ x

Passo 10

Podemos reescrever y ' , em termos de sech ⁡ x

y ' = 2 e x + e - x 2 = sech ⁡ x 2 = sec h 2 ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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