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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 93 b

Provar que:

(b) Se y = sec x , então y^' = sec x * tg x

Passo 1

Primeiro, temos que analisar quem é a sec x , como ela pode ser rescrita

sec x = (1)/(cos x)

Então, temos que:

y = (1)/(cos x)

Passo 2

Podemos fazer a derivada de y = (1)/(cos x) um usando a derivada do quociente.

Passo 3

A equação para derivada do quociente é:

y = (u)/(v) ⟹ y^' = (u^' v - u v^')/(v^2)

Passo 4

Para

y = (1)/(cos x)

Temos que u = 1 e v = cos x

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = 1

u^' = 0

Porque a derivada de uma constante é zero.

Segundo v '

v = cos x

v^' = - sen x

Terceiro v^2

v = cos x

v^2 = cos^2 x

Passo 5

Agora vamos aplicar em y '

y^' = (0 * cos x - 1 * (- sen x))/(cos^2 x)

y^' = (0 + sen x)/(cos^2 x)

y^' = (sen x)/(cos^2 x)

Passo 6

Podemos reescrever essa divisão na forma de duas frações

y^' = (sen x)/(cos^2 x)

y^' = (1)/(cos x) * (sen x)/(cos x)

Podemos reescrever a primeira fração como

(1)/(cos x) = sec x

E a segunda como

(sen x)/(cos x) = tg x

Aplicando na equação novamente temos:

y^' = sec x * tg x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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