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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 93 g

Provar que:

(b) Se y = sec h x , então y^' = - s e c h x * tgh x

Passo 1

Primeiro, temos que ver o que é a secante.

sec x = (1)/(s en x)

Passo 2

Agora, temos que analisar que estamos trabalhando com funções hiberbólicas, temos que reescrever sec x como sec h x .

sec h x = (1)/(cos h x)

Reescrevendo as funções senh x e cos x , temos:

cos h x = (e^x + e^(- x))/(2)

Passo 3

Aplicando em y , temos

y = (1)/((e^x + e^(- x))/(2))

Reelembrando que na divisão de frações mantemos a primeira e invertemos a segunda

y = 1 * (2)/(e^x + e^(- x))

y = (2)/(e^x + e^(- x))

Passo 4

Podemos fazer a derivada de y = (2)/(e^x + e^(- x)) um usando a derivada do quociente.

Passo 5

A equação para derivada do quociente é:

y = (u)/(v) ⟹ y^' = (u^' v - u v^')/(v^2)

Passo 6

Para

y = (2)/(e^x + e^(- x))

Temos que u = 2 e v = e^x + e^(- x)

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = 2

u^' = 0

Segundo v '

v = e^x + e^(- x)

v^' = e^x - 1 * e^(- x)

v ' = e^x - e^(- x)

Terceiro v^2

v = e^x + e^(- x)

v^2 = (e^x + e^(- x))^2

Passo 7

Agora vamos aplicar em y '

y^' = (0 * (e^x + e^(- x)) - (e^x - e^(- x)) * 2)/((e^x + e^(- x))^2)

y^' = (0 - (e^x - e^(- x)) * 2)/((e^x + e^(- x))^2)

y^' = (- 2 * (e^x - e^(- x)))/((e^x + e^(- x))^2)

Passo 8

Podemos separar em duas frações

y^' = (- 2)/(e^x + e^(- x)) * (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x))

Passo 9

Observando os termos, temos que

(- 2)/(e^x + e^(- x)) = - sech x

E que

(e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)) = tg h x

Passo 10

Podemos reescrever y^' , em termos de sech x

y^' = (- 2)/(e^x + e^(- x)) * (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)) = - sech x * tgh x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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