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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 93d

Provar que:

Se y = a r c c o s s e c x , |x| >= 1 , então y^' = - (1)/(|x| sqrt(x^2 - 1)) , |x| > 1 .

Passo 1

A função arco cossecante é a inversa da cossecante, então a gente pode dizer que :

y = a r c c o s s e c x -> x = c o s s e c y , y in (0 , pi)

A gente pode usar então o Teorema da função inversa, e fazer:

y^' = (1)/(( c o s s e c y ) ')

Derivando ali embaixo...

y^' = (1)/(- c o s s e c y c o t g y)

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica 1 + c o t g^2 y = c o s s e c^2 y , podemos fazer que:

c o t g^2 y = c o s s e c^2 y - 1

c o t g y = sqrt(c o s s e c^2 y - 1)

Agora a gente substitui na nossa...

y^' = - (1)/(c o s s e c y sqrt(c o s s e c^2 y - 1))

E como x = c o s s e c y ...

y^' = - (1)/(|x| sqrt(x^2 - 1))

Prontinho! Provamos o que queríamos😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Provar que:y = a r c sech x , então y^' = - (1)/(x sqrt(1 - x^2)) , 0x1 .
Provar que:y = a r c cosech x , então y^' = - (1)/(|x| sqrt(1 + x^2)) , x != 0