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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 72

Nos exercícios 43 a 79 , calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.

72. f x = a r c tg ⁡   1 1 - x 2

Passo 1

Vamos desmembrar essa função em duas, como funções compostas!

g h x = a r c tg ⁡   1 1 - x 2

h x = 1 1 - x 2

g x = a r c   t g   x

Passo 2

Lembrando a fórmula de derivada da função composta, temos:

f ' x = g ' h x h ' x

Derivando g ( x ) , temos:

g x = a r c   t g   x

g ´ x = 1 1 + x 2

Derivando h x , temos:

h x = 1 1 - x 2

h ´ x = 0 1 - x 2 - 1 1 - x 2 ' 1 - x 2 2 = 2 x 1 - x 2 2

Escrevendo     g ' h x :

g ' h x = 1 1 + 1 1 - x 2 2

Passo 3

Agora escrevendo tudo na fórmula da função composta:

f ' x = g ' h x h ' x

f ' x = 1 1 + 1 1 - x 2 2 2 x 1 - x 2 2

f ' x = 2 x 1 + 1 1 - x 2 2 1 - x 2 2

Resposta

f ' x = 2 x 1 + 1 1 - x 2 2 1 - x 2 2

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