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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 93h

Provar que:

y = a r c sech x , então y^' = - (1)/(x sqrt(1 - x^2)) , 0 < x < 1 .

Passo 1

Bom, pela definição das funções hiperbólicas, nós podemos reescrever a função arco secante hiperbólico assim:

y = a r c sech x = ln (1 + sqrt(1 - x^2))/(x)

E aí a gente pode derivar essa função usando as regrinhas que a gente já sabe...

Passo 2

Pela regra da cadeia...

y^' = (1)/((1 + sqrt(1 - x^2))/(x)) ((1 + sqrt(1 - x^2))/(x)) '

Agora a gente desenvolve com a regra do quociente...

= (x)/(1 + sqrt(1 - x^2)) (((- (2 x)/(2 sqrt(1 - x^2)) (x) - (1) (1 + sqrt(1 - x^2))))/(x^2))

= (x)/(1 + sqrt(1 - x^2)) ((- (x^2)/(sqrt(1 - x^2)) - 1 - sqrt(1 - x^2))/(x^2))

= (1)/(1 + sqrt(1 - x^2)) ((((- x^2 - sqrt(1 - x^2) - 1 + x^2)/(sqrt(1 - x^2))))/(x))

= (1)/(1 + sqrt(1 - x^2)) ((((- 1 - sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 - x^2))))/(x))

= (1)/(1 + sqrt(1 - x^2)) ((- 1 - sqrt(1 - x^2))/(x sqrt(1 - x^2)))

= (1)/(1 + sqrt(1 - x^2)) (- ((1 + sqrt(1 - x^2))/(x sqrt(1 - x^2))))

= - (1)/(x sqrt(1 - x^2))

Prontinho! Chegamos ao resultado que queríamos😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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