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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 93i

Provar que:

y = a r c cosech x , então y^' = - (1)/(|x| sqrt(1 + x^2)) , x != 0

Passo 1

Bom, pela definição das funções hiperbólicas, nós podemos reescrever a função arco cossecante hiperbólico assim:

y = a r c co sech x = ln ( (1)/(x) + (sqrt(1 + x^2))/(|x|) )

E aí a gente pode derivar essa função usando as regrinhas que a gente já sabe...

Passo 2

Como temos o módulo, podemos provar só para x > 0 , pois com x < 0 será da mesma forma...

Pela regra da cadeia, a gente faz:

y^' = (1)/((1)/(x) + (sqrt(1 + x^2))/(x)) ((1)/(x) + (sqrt(1 + x^2))/(x)) '

Vamos derivando e desenvolvendo agora...

y^' = (1)/((1 + sqrt(1 + x^2))/(x)) ((((2 x)/(2 sqrt(1 + x^2)) (x) - 1 (1 + sqrt(1 + x^2))))/(x^2))

= (x)/(1 + sqrt(1 + x^2)) ((((x^2)/(sqrt(1 + x^2)) - 1 - sqrt(1 + x^2)))/(x^2))

= (x)/(1 + sqrt(1 + x^2)) ((((x^2 - sqrt(1 + x^2) - 1 - x^2 ))/(sqrt(1 + x^2))))/(x^2))

= (1)/(1 + sqrt(1 + x^2)) (- ((1 + sqrt(1 + x^2)))/(x sqrt(1 + x^2)))

= - (1)/(x sqrt(1 + x^2))

Ou seja, para x != 0 , temos que a derivada é:

- (1)/(| x | sqrt(1 + x^2))

Prontinho! Chegamos ao resultado que queríamos😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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