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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.3 - Ex. 40

40- Prove as afirmações de limite nos Exercícios 37-50

lim x → 0 ⁡ 4 - x = 2

Passo 1

Utilizando a definição precisa do limite temos:

x 0 = 0 ,       f x = 4 - x ,       L = 2

Logo temos a equação:

4 - x - 2 < ϵ

Desmembrando em duas equações temos:

4 - x < ϵ + 2

- 4 - x < ϵ - 2

Passo 2

Resolvendo a primeira equação temos:

4 - x < ϵ + 2 2

4 - x < ϵ 2 + 4 ϵ + 4

- x < ϵ 2 + 4 ϵ

x > - ϵ 2 - 4 ϵ

Resolvendo a segunda equação temos:

4 - x > - ϵ + 2

4 - x > 2 - ϵ 2

4 - x > ϵ 2 - 4 ϵ + 4

x < - ϵ 2 + 4 ϵ

O que nos dá o intervalo:

- ϵ 2 - 4 ϵ < x < - ϵ 2 + 4 ϵ

Passo 3

Calculando δ :

x - 0 < δ

Substituindo os valores que encontramos:

- ϵ 2 - 4 ϵ < δ

- ϵ 2 + 4 ϵ < δ

Logo a menor distância é:

δ = - ϵ 2 + 4 ϵ

Passo 4

Provando então x - x 0 < δ por f x - L < ϵ

4 - x - 2 < ϵ

- ϵ + 2 < 4 - x < ϵ + 2

- ϵ + 2 2 < 4 - x < ϵ + 2 2

ϵ 2 - 4 ϵ + 4 < 4 - x < ϵ 2 + 4 ϵ + 4

ϵ 2 - 4 ϵ < - x < ϵ 2 + 4 ϵ

- ϵ 2 - 4 ϵ < x < - ϵ 2 + 4 ϵ

Como o módulo de - ϵ 2 - 4 ϵ é maior que - ϵ 2 + 4 ϵ para qualquer real, podemos substituir-lo na equação, como:

ϵ 2 - 4 ϵ < x < - ϵ 2 + 4 ϵ

Logo:

x < - ϵ 2 + 4 ϵ = δ

Provado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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