41- Prove as afirmações de limite nos Exercícios 37-50

lim x → 1 ⁡ f x = 1

f x = x 2           , x ≠ 1

f x = 2             , x = 1

Passo 1

A função tem essa cara:

Utilizando a notação precisa da derivada temos:

x 0 = 1 ,     f x = x 2 ,         L = 1

Passo 2

Temos a seguinte equação:

x 2 - 1 < ϵ

Desmembrando a equação temos:

x 2 - 1 < ϵ

- x 2 + 1 < ϵ

Passo 3

Resolvendo a primeira temos:

x 2 < ϵ + 1

x < 1 + ϵ

Resolvendo a segunda temos:

- x 2 < ϵ - 1

x 2 > 1 - ϵ

x > 1 - ϵ

Tendo o nosso intervalo :

1 + ϵ < x < 1 - ϵ

Passo 4

Resolvendo δ temos:

x - x 0 < δ

O que nos dá:

1 + ϵ - 1 < δ

1 - ϵ - 1 < δ  

O que está dentro da segunda é negativo sempre.

Logo δ é o valor mínimo entre os dois.

δ = min ⁡ 1 + ϵ - 1 , 1 - 1 - ϵ      

Se testarmos valores pequenos de erro, acharemos que a menor é:

δ = 1 + ϵ - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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