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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 58

58 – Linearização de e x em x = 0

  1. Derive a aproximação linear e x ≈ 1 + x em x = 0 .
  2. Calcule a magnitude do erro envolvido na substituição de e x por 1 + x no intervalo [ 0 ; 0,2 ] . A resposta deve ter cinco casas decimais .
  3. Trace em um mesmo gráfico e x e 1 + x para - 2 < x < 2 . Use cores diferentes, se possível. Em que intervalos a aproximação parece superestimar e x ? E subestimar e x ?

Passo 1

Letra a)

A função linearizadora pode ser dada por:

L a = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Com a = 0 :

Logo nossa função linearizada fica:

L 0 = e 0 + e 0 × x - 0 = 1 + x

Passo 2

Precisamos saber graficamente qual função está acima da outra. Logo derivando e x

y ' = e x

y ' ' = e x

E podemos ver que para qualquer x teremos crescimento positivo e concavidade para cima, e concavidade para cima, logo e x sempre ficará acima de 1 + x . O que dá nosso erro igual a:

E = e x - ( 1 + x )

Logo para x = 0.2 teremos um erro de:

e 0.2 - 1 + 0.2 = 0.02140

Passo 3

Letra c)

Reta azul é a reta 1 + x e a curva vermelha tem e x .

E assim como na questão passada, temos uma boa aproximação para valores pequenos de x tais como o da questão passada . Um bom intervalo pode ser - 0.2 ≤ x ≤ 0.2 . Maior número que isso passa a ter uma diferença muito grande entre as duas funções.

Por ser tangente, a reta 1 + x nunca terá um valor maior que e x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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