Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.

25) lim x → 4 ⁡ 2 x + 1 = 9

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 . Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 2 x + 1

a = 4

L = 9

Sendo assim:

0 < x - 4 < δ

f x - 9 < ϵ

Para encontrar um δ > 0 o primeiro passo é substituir f x na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f x :

2 x + 1 - 9 < ϵ

2 x - 8 < ϵ

2 ( x - 4 ) < ϵ

2 x - 4 < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 4 < δ

Substituindo :

2 x - 4 < ϵ

2 δ < ϵ

δ < ϵ 2

Isso significa que ϵ 2 é um valor satisfatório para δ . Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = ϵ 2 , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x - 4 < δ

então

f x - 9 < ϵ

Isso prova que

lim x → 4 ⁡ 2 x + 1 = 9

Resposta

δ = ϵ 2

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