Prove:

arccos(3/raiz(10)) + arccos(2/raiz(5)) = pi/4

Passo 1

A questão pede para provarmos que

arccos (3)/(sqrt(10)) + arccos (2)/(sqrt(5)) = (pi)/(4)

Note que provarmos isso é a mesma coisa que provar:

cos (arccos (3)/(sqrt(10)) + arccos (2)/(sqrt(5))) = cos (pi)/(4) = (sqrt(2))/(2)

Assim, vamos tentar calcular o valor da expressão:

I = cos (arccos (3)/(sqrt(10)) + arccos (2)/(sqrt(5)))

Passo 2

Usando a fórmula do cosseno da soma:

cos ( a + b ) = cos a cos b - s e n a s e n b

Assim,

I = cos (arccos (3)/(sqrt(10)) + arccos (2)/(sqrt(5))) = cos a cos b - s e n a s e n b ,

com a = arccos (3)/(sqrt(10)) e b = arccos (2)/(sqrt(5)) . Assim,

cos a = (3)/(sqrt(10)) e cos b = (2)/(sqrt(5))

Note que tanto a como b estão no primeiro quadrante. Usando a relação fundamental:

(9)/(10) + s e n^2 a = 1 => s e n^2 a = (1)/(10) => s e n a = (1)/(sqrt(10))

(4)/(5) + s e n^2 b = 1 => s e n^2 b = (1)/(5) => s e n b = (1)/(sqrt(5))

Passo 3

Assim,

I = cos a cos b - s e n a s e n b = (3)/(sqrt(10)) * (2)/(sqrt(5)) - (1)/(sqrt(10)) * (1)/(sqrt(5)) = (5)/(sqrt(50)) = (1)/(sqrt(2)) = (sqrt(2))/(2)

Desta forma, temos que

cos (arccos (3)/(sqrt(10)) + arccos (2)/(sqrt(5))) = (sqrt(2))/(2)

Assim, temos que

arccos (3)/(sqrt(10)) + arccos (2)/(sqrt(5)) = arccos (sqrt(2))/(2) = (pi)/(4)

Essa era exatamente a expressão que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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