Prove:

arccos(3/raiz(10)) + arccos(2/raiz(5)) = pi/4

Passo 1

A questão pede para provarmos que

arccos ⁡ 3 10 + arccos ⁡ 2 5 = π 4

Note que provarmos isso é a mesma coisa que provar:

cos ⁡ arccos ⁡ 3 10 + arccos ⁡ 2 5 = cos ⁡ π 4 = 2 2

Assim, vamos tentar calcular o valor da expressão:

I = cos ⁡ arccos ⁡ 3 10 + arccos ⁡ 2 5

Passo 2

Usando a fórmula do cosseno da soma:

cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b

Assim,

I = cos ⁡ arccos ⁡ 3 10 + arccos ⁡ 2 5 = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b ,

com a = arccos ⁡ 3 10 e b = arccos ⁡ 2 5 . Assim,

cos ⁡ a = 3 10           e         cos ⁡ b = 2 5

Note que tanto a como b estão no primeiro quadrante. Usando a relação fundamental:

9 10 + s e n 2 a = 1 ⇒ s e n 2 a = 1 10 ⇒ s e n   a = 1 10

4 5 + s e n 2 b = 1 ⇒ s e n 2 b = 1 5 ⇒ s e n   b = 1 5

Passo 3

Assim,

I = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b = 3 10 ⋅ 2 5 - 1 10 ⋅ 1 5 = 5 50 = 1 2 = 2 2

Desta forma, temos que

cos ⁡ arccos ⁡ 3 10 + arccos ⁡ 2 5 = 2 2

Assim, temos que

arccos ⁡ 3 10 + arccos ⁡ 2 5 = arccos ⁡ 2 2 = π 4

Essa era exatamente a expressão que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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