Prove:

2 * arctan(1 / 3) - arctan(-1 / 7) = pi / 4

Passo 1

A questão pede para provarmos que

2 arctan ⁡ 1 3 - arctan ⁡ - 1 7 = π 4

Note que provar isso é a mesma coisa que provar:

tan ⁡ 2 arctan ⁡ 1 3 - arctan ⁡ - 1 7 = tan ⁡ π 4 = 1

Assim, vamos tentar calcular o valor da expressão:

I = tan ⁡ 2 arctan ⁡ 1 3 - arctan ⁡ - 1 7

Passo 2

Usando a fórmula da tangente da diferença:

tan ⁡ a - b = tan ⁡ a - tan ⁡ b 1 + tan ⁡ a tan ⁡ b

Assim,

I = tan ⁡ 2 arctan ⁡ 1 3 - arctan ⁡ - 1 7 = tan ⁡ a - tan ⁡ b 1 + tan ⁡ a tan ⁡ b ,

com a = 2 arctan ⁡ 1 3 e b = arctan ⁡ - 1 7 . Assim,

tan ⁡ a 2 = 1 3         e       tan ⁡ b = - 1 7

Usando a fórmula da tangente do arco duplo:

tan ⁡ a = 2 tan ⁡ a 2 1 - tan 2 ⁡ a 2 = 2 ⋅ 1 3 1 - 1 9 = 2 3 8 9 = 2 3 ⋅ 9 8 = 3 4

Passo 3

Assim,

I = tan ⁡ a - tan ⁡ b 1 + tan ⁡ a tan ⁡ b = 3 4 - - 1 7 1 + 3 4 ⋅ - 1 7 = 21 + 4 28 28 - 3 28 = 25 25 = 1

Desta forma, temos que

tan ⁡ 2 arctan ⁡ 1 3 - arctan ⁡ - 1 7 = 1

Assim, temos que

2 arctan ⁡ 1 3 - arctan ⁡ - 1 7 = arctan ⁡ 1 = π 4

Essa era exatamente a expressão que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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