Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 52

Prove que se f é contínua em e g é descontínua em , então f+g é descontínua em .

Passo 1

Para provar esse enunciado, não podemos particularizar as funções, então apenas podemos usar as definições de continuidade para resolver.

Assim, para que uma função f seja contínua em um número , precisamos que:

Exista , exista e .

Portanto, para uma função g ser descontínua em , pelo menos uma dessas condições devem ser falsas.

Passo 2

Considere então que temos f(x) uma função contínua em e g(x) uma função que não satisfaça a primeira condição:

Então vamos verificar as condições citadas para a função (f+g)(x) em :

Para existir pela regra da soma de limites, precisamos que exista ambos oslimites de f e de g, mas o limite de g não existe, o que leva a concluir que o limite de f+g não existe.

Portanto, se a primeira condição não é satisfeita para g, não é satisfeita para f+g e então a soma é descontínua.

Passo 3

Considere agora que f(x) é contínua em e g(x) uma função que não satisfaz a segunda consição:

Então vamos verificar a segunda condição para a função f+g

Como contanto que e existam. Porém, como não existe por hipótese, então não existe, concluindo então que f+g é descontínua em .

Passo 4

Por fim, se considerarmos que f(x) é contínua em e g(x) é uma função que não satisfaz a terceira condição, vamos verificar que a função f+g também não satisfaz:

pela regra da soma