Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.

G(x) = (x^4 + 17) / (6x^2 + x - 1)

Passo 1

O enunciado pede para explicitarmos o domínio da função e justificar, usando os teoremas mostrados ao longo da seção no livro, que ela é contínua em todos os pontos de seu domínio.

O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.

O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.

O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.

Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.

Passo 2

O domínio de G é o conjunto de todos os números reais tais que 6 x 2 + x - 1 ≠ 0 pois o denominador não pode se anular. Utilizando a fórmula de Bháskara:

x ≠ - 1 ± 1 - 4 ⋅ 6 ⋅ - 1 2 ⋅ 6 = - 1 ± 5 12

x ≠ - 1 2     e     x ≠ 1 3

Portanto o domínio de G é:

D G = R - - 1 2 , 1 3

Passo 3

Como G é uma função racional, pelo teorema 5, G é contínua em todos pontos de seu domínio.

Resposta

R: demonstração e D G = R - - 1 2 , 1 3

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