Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.5 - Ex. 28
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos explicar por que a função
é contínua em todo número em seu domínio usando os teoremas 4,5, 7 e 9 do livro.
Lembrando esses teoremas:
O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.
O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.
O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.
Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.
E lembrando também que domínio de uma função de são todos os valores que o pode assumir na função. Temos que lembrar das restrições que podemos gerar valores de que não são aceito, como não pode ter divisão por zero, não pode ter log de número negativo ou igual a zero e não pode ter raiz de número negativo.
Passo 2
Já podemos reparar de início que não temos função composta (que seriam aquelas funções uma dentro da outra), então nem vamos usar o teorema 9, ok!?
Maaas agora pega a função:
Podemos separar em uma multiplicação de funções:
Já vemos que a primeira função é seno de , que é uma função trigonométrica. E o teorema 7 fala de funções trigonométricas e que elas são contínuas em seus domínios.
Lembra que a função seno é uma minhocona? Ela não tem restrições. É válida para qualquer valor de .
Portanto, pelo teorema 7, é contínua em todo o seu domínio.
Passo 3
Agora vamos analisar a segunda função, que é .
Temos uma função racional (quociente de polinômios) e já olhamos para o teorema 5.
Aqui temos que ter cuidado pra não ter divisão por zero, ok?
Então o domínio da função vai ser todo valor de exceto o valor que torna a parte de baixo igual a zero, que é o .
Daí temos o domínio .
Pelo teorema , é contínua em todo o seu domínio.
Passo 4
Bom... a gente separou a função na multiplicação de duas funções, certo?
E o teorema 4 diz que o produto de duas funções contínuas é uma função contínua.
E já analisamos exatamente isso nos passos anteriores.
Como temos o produtos de duas contínuas (em seus domínios), então, pelo teorema , é contínua em seu domínio.
Resposta
R: demonstração e.