Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.

h(x) = sen(x) / (x + 1)

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos explicar por que a função

h x = s e n   x x + 1

é contínua em todo número em seu domínio usando os teoremas 4,5, 7 e 9 do livro.

Lembrando esses teoremas:

O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.

O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.

O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.

Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.

E lembrando também que domínio de uma função de x são todos os valores que o x pode assumir na função. Temos que lembrar das restrições que podemos gerar valores de x que não são aceito, como não pode ter divisão por zero, não pode ter log de número negativo ou igual a zero e não pode ter raiz de número negativo.

Passo 2

Já podemos reparar de início que não temos função composta (que seriam aquelas funções uma dentro da outra), então nem vamos usar o teorema 9, ok!?

Maaas agora pega a função:

h x = sin ⁡ x x + 1

Podemos separar em uma multiplicação de funções:

h x = sin ⁡ x ⋅ 1 x + 1

Já vemos que a primeira função é seno de x , que é uma função trigonométrica. E o teorema 7 fala de funções trigonométricas e que elas são contínuas em seus domínios.

Lembra que a função seno é uma minhocona? Ela não tem restrições. É válida para qualquer valor de x .

Portanto, pelo teorema 7, sin ⁡ x   é contínua em todo o seu domínio.

Passo 3

Agora vamos analisar a segunda função, que é 1 x + 1 .

Temos uma função racional (quociente de polinômios) e já olhamos para o teorema 5.

Aqui temos que ter cuidado pra não ter divisão por zero, ok?

Então o domínio da função vai ser todo valor de x exceto o valor que torna a parte de baixo igual a zero, que é o x = - 1 .

Daí temos o domínio R - - 1 .

Pelo teorema 5 , 1 x + 1   é contínua em todo o seu domínio.

Passo 4

Bom... a gente separou a função na multiplicação de duas funções, certo?

E o teorema 4 diz que o produto de duas funções contínuas é uma função contínua.

E já analisamos exatamente isso nos passos anteriores.

Como temos o produtos de duas contínuas (em seus domínios), então, pelo teorema 4 , sin ⁡ x x + 1 é contínua em seu domínio.

Resposta

R: demonstração e   D h = R - { - 1 } .

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