Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio.

L(t) = e^(-5t) * cos(2pi*t)

Passo 1

O enunciado pede para explicitarmos o domínio da função e justificar, usando os teoremas mostrados ao longo da seção no livro, que ela é contínua em todos os pontos de seu domínio.

O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.

O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.

O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.

Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Como os domínios das funções exponencial e cosseno são reais, o domínio de L é

D L = R

Passo 3

Pelo teorema 7, e t e cos ⁡ t são funções contínuas. Como - 5 t e 2 π t são funções contínuas, pelo teorema 9 das funções compostas, e - 5 t e cos ⁡ 2 π t são contínuas. Por fim, como o produto de funções contínuas é contínuo (teorema 4), L é contínua.

Resposta

R: demonstração e   D L = R .

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