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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 47

Prove que a distância entre os pontos P_1 (r_1 , theta_1) e P_2 ( r_2 , theta_2 ) é sqrt(r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 c o s ( theta_2 - theta_1 ))

Passo 1

Primeiro vamos descobrir a distância entre dois pontos na forma retangular. Em seguida fazer a mudança de coordenadas.

Note que, a distancia em coordenadas retangulares é dada por:

d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

Esta formula é aplicação direta de Pitágoras.

Passo 2

Com isso, desenvolvemos:

d = sqrt(x_2^2 - 2 x_2 x_1 + x_1^2 + y_2^2 - 2 y_2 y_1 + y_1^2)

Aplicando a transformação de para coordenadas, temos:

d = sqrt(r_2^2 + r_1^2 - 2 r_2 r_1 ( c o s theta_2 c o s theta_1 + s e n theta_2 s e n theta_1 ))

Pela propriedade trigonométrica, tem-se:

d = sqrt(r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 c o s ( theta_2 - theta_1 ))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Transformar a seguinte equação para coordenadas cartesianas. r = 1 cos ⁡ θ + sin ⁡ θ
Transformar a seguinte equação para coordenadas polares. x 2 + y 2 - 2 x = 0
Esboçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares: r = 1 - 2 s en ⁡ θ
Transformar a seguinte equação para coordenadas polares. x 2 + y 2 - 6 y = 0
Transformar a seguinte equação para coordenadas cartesianas. r = cos ⁡ θ