Prove que a distância entre os pontos P_1(r_1, theta_1) e P_2(r_2, theta_2) é raiz(r_1^2 + r_2^2 - 2\*r_1\*r_2\*cos(theta_2 - theta_1))

Passo 1

Primeiro vamos descobrir a distância entre dois pontos na forma retangular. Em seguida fazer a mudança de coordenadas.

Note que, a distancia em coordenadas retangulares é dada por:

d =   x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Esta formula é aplicação direta de Pitágoras.

Passo 2

Com isso, desenvolvemos:

d = x 2 2 - 2 x 2 x 1 + x 1 2 + y 2 2 - 2 y 2 y 1 + y 1 2

Aplicando a transformação de para coordenadas, temos:

d = r 2 2 + r 1 2 - 2 r 2 r 1 ( c o s θ 2 c o s θ 1 +   s e n θ 2 s e n θ 1 )

Pela propriedade trigonométrica, tem-se:

d =   r 1 2   + r 2 2 - 2 r 1 r 2 c o s ⁡ ( θ 2 - θ 1 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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