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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 8c

Transformar a seguinte equação para coordenadas cartesianas.

r = 1 cos ⁡ θ + sin ⁡ θ

Passo 1

As coordenadas polares r ,   θ   podem ser transformadas em coordenadas cartesianas ( x , y ) pela seguinte substituição:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Esses resultados podem ser concluídos pela definição de seno e cosseno. Observe a figura abaixo:

cos ⁡ θ = x r ⇒ x = r cos ⁡ θ

sin ⁡ θ = y r ⇒ y = r sin ⁡ θ

De forma análoga, as coordenadas cartesianas podem ser transformadas em coordenadas polares. Elevando ambos os membros das equações a cima ao quadrado, podemos escrever:

x 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ

y 2 = r 2 sin 2 ⁡ θ

Adicionando membro a membro, obtemos:

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ⇒ x 2 + y 2 = r 2 ⇒ r = x 2 + y 2

Assim, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

r = 1 cos ⁡ θ + sin ⁡ θ

⇒ x 2 + y 2 = 1 x + y x 2 + y 2 ⇒ x + y = x 2 + y 2 x 2 + y 2 ⇒ x +   y = 1

Resposta

x + y = 1

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Ache a equação polar da cônica que satisfaz as condições dadas e faça um esboço gráfico. Um foco na origem; vétices em (2, π ) e (4, π ).
Prove que a distância entre os pontos P_1 (r_1 , theta_1) e P_2 ( r_2 , theta_2 ) é sqrt(r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 c o s ( theta_2 - theta_1 ))
r = 5 3 + 3 s e n θ . (a) ache a excentricidade; (b) identifique a cônica; (c) escreva a equação da diretriz que corresponde ao foco na origem; (d) faça um esboço da curva.
Ache a área da região limitada por um laço da curva r = as e nn θ , onde n é um número inteiro positivo.
Ache a equação polar da circunferência com centro em ( r 0 ,θ 0 ) e raio a unidades.