Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 55
Prove que a função tangente hiperbólico é contínua e crescente em todo o seu domínio.
Passo 1
Para provarmos isso, temos que lembrar que:
E
Dessa forma
As funções exponenciais e são continuas em todos os reais. A única situação que poderia dar problema com a continuidade no tangente hiperbólica seria ter o denominador sendo . Mas ali temos a soma de duas exponenciais, ele nunca será .
Então, como temos uma fração de funções contínuas com o denominador nunca sendo , ela vai ser contínua.
Passo 2
Para mostrarmos que ela é crescente basta analisarmos o sinal da derivada
Para isso vamos usar a regra do quociente
Usando o produto notável:
Vamos ter:
Aquele denominador é um número ao quadrado, logo sempre positivo. O numerado é , positivo.
A divisão de dois números positivos é positivo, então a derivada de tangente hiperbólica é sempre positiva, o que faz com que a função seja sempre crescente.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)