7-19 Prove a indentidade

15. senh(2x) = 2 * senh(x) * cosh(x)

Passo 1

Fala meus queridões, nessa questão queremos provar a seguinte identidade:

senh ⁡ 2 x = 2 senh ⁡ x cosh ⁡ x

E para isso vamos usar as fórmulas para o seno e o cosseno hiperbólico:

s e n h x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Passo 2

Vamos provar então a identidade:

senh ⁡ 2 x = 2 senh ⁡ x cosh ⁡ x

Podemos verificar isso substituindo o seno e o cosseno hiperbólico por seus valores:

e 2 x - e - 2 x 2 = 2 e x - e - x 2 e x + e - x 2

Agora temos que fazer as multiplicações e somas:

e 2 x - e - 2 x 1 2   = 2 ⋅ 1 2 e x - e - x 1 2   e x + e - x

e 2 x - e - 2 x   = e x - e - x   e x + e - x

Agora vou realizar a multiplicação entre os dois fatores do lado direito da equação, e para isso, multiplicamos termo a termo.

e 2 x - e - 2 x   = e 2 x + e x e - x - e - x e x - e - 2 x

Agora, podemos fazer que:

e x e - x = e x - x = e 0 = 1

Portanto, voltando para a nossa equação, temos:

e 2 x - e - 2 x   = e 2 x + 1 - 1 - e - 2 x

e 2 x - e - 2 x   = e 2 x - e - 2 x

Ou seja, a identidade é verdadeira.

Resposta

Demonstração nos passos.

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