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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.9 - Ex. 63

Use o Exercício 62 para expressar a integral

∫ d u 1 - u 2

totalmente em termos de a r c   t a n h .

Passo 1

Pelo teorema 6.9.6 de derivadas e integrais para funções hiperbólicas inversas, nós temos, como o valor de a é 1, ou seja, maior que zero, temos o modelo de integral:

∫ d u a 2 - u 2

Para isso, se u < 1 , temos:

∫ d u 1 - u 2 = arctanh ⁡ u + C

Porém, se u > 1 , temos:

∫ d u 1 - u 2 = arccoth ⁡ u + C

Que é também equivalente a:

∫ d u 1 - u 2 = arctanh ⁡ 1 u + C

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a integral.int coth^2 x csch^2 x d x
Em cada parte, prove a identidade(c) s e n h (1)/(2) x = +- sqrt((1)/(2) (cosh x - 1))
Em cada parte, prove a identidade(b) cosh (1)/(2) x = sqrt((1)/(2) (cosh x + 1))
Em cada parte, prove a identidadecosh 3 x = 4 cosh^3 x - 3 cosh x
Investigue quais propriedades de cosh ⁡ t e sinh ⁡ t podem ser provadas diretamente a partir da definição geométrica no Exercício 76. Escreva uma breve descrição dos resultados desua investigação.