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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 2

Enuncie uma fórmula integral para encontrar um volume pelo método das camadas cilíndricas e use somas de Riemann para derivar a fórmula dada.

Passo 1

Usamos o método do fatiamento para mostrar que, somando os volumes das camadas

cilíndricas, podemos obter uma soma de Riemann que aproxima o volume V e, tomando o

limite das somas de Riemann, podemos obter uma integral para o volume exato V .

Para implementar essa ideia, vamos supor que exista uma faixa que se estende de um ponto ao outro de forma que o diferencial é dado por:

∆ x k = x k - x k - 1

Se x k for o ponto médio do intervalo [ x k - 1 , x k ] e se construirmos um retângulo de altura f ( x k * ) acima desse intervalo, então, fazendo esse retângulo girar em torno do eixo y , obtemos uma camada cilíndrica de altura f ( x k * ) , raio médio x k *   e espessura ∆ x k . Assim,

V = 2 π x k *   f x k *   ∆ x k

Somando os volumes das n camadas cilíndricas, obtemos a seguinte soma de Riemann que aproxima o volume V :

V ≈ ∑ k = 1 n 2 π x k *   f x k *   ∆ x k

Tomando o limite quando n cresce e a extensão dos subintervalos tende a zero, obtemos a integral definida

V = lim ∆ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 2 π x k *   f x k *   ∆ x k = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

Prontinho!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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