Prove as identidades.

(a) 1 - tanh^2(x) = sech^2(2x)

(b) tanh(x + y) = (tanh(x) + tanh(y)) / (1 + tanh(x) * tanh(y))

(c) tanh(2x) = 2 * tanh(x) / (1 + tanh^2(x))

Passo 1

Resolvendo por partes:

Para o item (a), essa identidade se assemelha a do seno e cosseno: cosh^2 x - sinh^2 x = 1 , ou seja,

sech^2 x + tanh^2 x = 1

Para o item (b), podemos fazer:

tanh ( x + y ) = (sinh x cosh y + cosh x sinh y)/(cosh x cosh y + sinh x sinh y)

Reorganizando:

= ((sinh x)/(cosh x) + (sinh y)/(cosh y))/(1 + (sinh x sinh y)/(cosh x cosh y))

tanh ( x + y ) = (tanh x + tanh y)/(1 + tanh x tanh y)

Para o item (c), fazemos com o resultado anterior, apenas substituindo y = x :

tanh ( 2 x ) = (tanh x + tanh x)/(1 + tanh x tanh x)

Reorganizando:

= (2 tanh x)/(1 + tanh^2 x)

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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