Prove as identidades.

(a) 1 - tanh^2(x) = sech^2(2x)

(b) tanh(x + y) = (tanh(x) + tanh(y)) / (1 + tanh(x) \* tanh(y))

(c) tanh 2x = 2 \* tanh x / (1 + tanh^2 x)

Passo 1

Resolvendo por partes:

Para o item (a), essa identidade se assemelha a do seno e cosseno: cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x = 1 , ou seja,

sech 2 ⁡ x + tanh 2 ⁡ x = 1

Para o item (b), podemos fazer:

tanh ⁡ ( x + y ) = sinh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x sinh ⁡ y cosh ⁡ x cosh ⁡ y + sinh ⁡ x sinh ⁡ y

Reorganizando:

= sinh ⁡ x cosh ⁡ x + sinh ⁡ y cosh ⁡ y 1 + sinh ⁡ x sinh ⁡ y cosh ⁡ x cosh ⁡ y

tanh ⁡ ( x + y ) = tanh ⁡ x + tanh ⁡ y 1 + tanh ⁡ x tanh ⁡ y

Para o item (c), fazemos com o resultado anterior, apenas substituindo y = x :

tanh ⁡ ( 2 x ) = tanh ⁡ x + tanh ⁡ x 1 + tanh ⁡ x tanh ⁡ x

Reorganizando:

= 2 tanh ⁡ x 1 + tanh 2 ⁡ x

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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