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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.9 - Ex. 59

Prove as identidades.

(a) 1 - tanh^2 x = sech^2 2 x

(b) tanh ( x + y ) = (tanh x + tanh y)/(1 + tanh x tanh y)

(c) tanh 2 x = (2 tanh x)/(1 + tanh^2 x)

Passo 1

Resolvendo por partes:

Para o item (a), essa identidade se assemelha a do seno e cosseno: cosh^2 x - sinh^2 x = 1 , ou seja,

sech^2 x + tanh^2 x = 1

Para o item (b), podemos fazer:

tanh ( x + y ) = (sinh x cosh y + cosh x sinh y)/(cosh x cosh y + sinh x sinh y)

Reorganizando:

= ((sinh x)/(cosh x) + (sinh y)/(cosh y))/(1 + (sinh x sinh y)/(cosh x cosh y))

tanh ( x + y ) = (tanh x + tanh y)/(1 + tanh x tanh y)

Para o item (c), fazemos com o resultado anterior, apenas substituindo y = x :

tanh ( 2 x ) = (tanh x + tanh x)/(1 + tanh x tanh x)

Reorganizando:

= (2 tanh x)/(1 + tanh^2 x)

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada parte, reescreva a expressão como uma razão de polinômios.(a) cosh ⁡ ( ln ⁡ x ) (b) sinh ⁡ ( ln ⁡ x ) (c) tanh ⁡ ( 2 ln ⁡ x ) (d) cosh ⁡ ( - ln ⁡ x )
Calcule as integrais. ∫ tanh ⁡ x d x
Encontre dy/dx. y = 1 arctanh ⁡ x
Calcule as integrais. ∫ sinh 6 ⁡ x cosh ⁡ x d x
Encontre dy/dx.y = arcsinh ( (1)/(x) )