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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 13

Prove: underset(x -> p)(lim) (f (x))/(x - p) = 0 <=> underset(x -> p)(lim) (f (x))/(|x - p|) = 0 .

Passo 1

Pela definição precisa de limite, temos que:

underset(x -> p)(lim) (f (x))/(|x - p|) = 0

se para todo número epsilon > 0 houver um número delta > 0 tal que

se 0 < |x - p| < delta então |(f (x))/(x - p) - 0| < epsilon

Vamos então supor que:

se para todo número epsilon > 0 houver um número delta > 0 tal que

se 0 < |x - p| < delta então |(f (x))/(|x - p|) - 0| < epsilon

Então vamos ter que só acontece se:

underset(x -> p)(lim) (f (x))/(|x - p|) = 0

No fim temos então que:

underset(x -> p)(lim) (f (x))/(x - p) = 0 <=> {[[AA epsilon > 0 , EE delta > 0],[0 < |x - p| < delta -> |(f (x))/(x - p) - 0| < epsilon]]) <=> {[[AA epsilon > 0 , EE delta > 0],[0 < |x - p| < delta -> |(f (x))/(|x - p|) - 0| < epsilon]]) <=> underset(x -> p)(lim) (f (x))/(|x - p|) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilize as definições do exercício 93 para provas que lim x → 0 +⁡ 1 x = ∞
Modifique a definição para atender ao caso underset(x - x_0^-)(lim) f (x) = - oo
Modifique a definição para atender ao caso underset(x - x_0^+)(lim) f (x) = - oo
Modifique a definição para atender ao casounderset(x - x_0^-)(lim) f (x) = oo
Utilize as definições formais para provar a afirmação lim x → - 5 ⁡ 1 x + 5 2 =∞