Prove que para todo interiro positivo.

Ache

Onde e é qualquer inteiro positivo, fazendo e usando o resultado da parte

O que acontece é que enquanto o numerador possuir uma potência de , ele vai para infinito.

Assim, vamos aplicando L’Hospital eternamente, até o momento que ele some.

Mas como garantimos que ele vai sumir?

Ele disse que o é inteiro, na medida que derivamos esse cara, ele vai sempre diminuindo , como ele é inteiro, depois de vezes aplicando L’Hospital ele vai sumir.

Vamos ter algo assim:

Vamos chegar em:

Como é um número, vamos ter:

E está demonstrado o que ele queria

Letra

Vamois fazer o que ele sugeriu

Para isso, temos que ver como vai se comportar o limite, como ele disse que , estamos olhando na verdade eapenas os valores a direita de . Entao vamos ver como se comporta , para isso, vamos isolar o

E vamos ter:

Entao quando , vamso ter

Substituindo isso no nosso limite, vamos ter:

Lembrando que o expoente negativo funciona assim:

Vamos ter:

Que é o limite da letra , ele vai ser

Então: