Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 38
Prove que para todo interiro positivo.
Ache
Onde e é qualquer inteiro positivo, fazendo e usando o resultado da parte
Passo 1
Letra
Vamos começar substituindo:
Isso é uma indeterminação, vamos aplica L’Hospital.
Substituindo novamente:
Eita, não saiu. Vamos ver no próximo passo como resolver isso.
Passo 2
O que acontece é que enquanto o numerador possuir uma potência de , ele vai para infinito.
Assim, vamos aplicando L’Hospital eternamente, até o momento que ele some.
Mas como garantimos que ele vai sumir?
Ele disse que o é inteiro, na medida que derivamos esse cara, ele vai sempre diminuindo , como ele é inteiro, depois de vezes aplicando L’Hospital ele vai sumir.
Vamos ter algo assim:
Vamos chegar em:
Como é um número, vamos ter:
E está demonstrado o que ele queria
Passo 3
Letra
Vamois fazer o que ele sugeriu
Para isso, temos que ver como vai se comportar o limite, como ele disse que , estamos olhando na verdade eapenas os valores a direita de . Entao vamos ver como se comporta , para isso, vamos isolar o
E vamos ter:
Entao quando , vamso ter
Substituindo isso no nosso limite, vamos ter:
Lembrando que o expoente negativo funciona assim:
Vamos ter:
Que é o limite da letra , ele vai ser
Então:
Resposta
Letra