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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 43b

Calcule ∫ x 3 + 1 2 x 2 d x por dois métodos:

(b) Calcule primeiro x 3 + 1 2 . Compare os resultados e explique a diferença na aparência das respostas obtidas em (a) e (b).

Passo 1

Neste médodo vamos simplesmente abrir o produto e a potência dentro da integral e integrar o polinômio para cada potência de x uma a uma. Primeiro abrimos o polinômio:

∫ x 3 + 1 2 x 2 d x = ∫ x 6 + 2 x 3 + 1 x 2 d x = ∫ x 8 + 2 x 5 + x 2 d x

Passo 2

Agora resolvemos a integral, usando que ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C :

∫ x 8 + 2 x 5 + x 2 d x = x 9 9 + 2 x 6 6 + x 3 3 + C = x 9 9 + x 6 3 + x 3 3 + C

Passo 3

Comparando os métodos de (a) e de (b) chegamos a conclusão de que o cálculo no item (a) ocorreu mais rapidamente pois tratou a expressão em termos de x 3 + 1 , obtendo o resultado x 3 + 1 3 9 + C fatorado, enquando no item (b) tivemos que desenvolver a expressão e integrar cada termo do polinômio separadamente, obtendo x 9 9 + x 6 3 + x 3 3 + C

Resposta

u 3 9 + C = x 3 + 1 3 9 + C

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Determine d y / d x : y = ∫ 0 s e n - 1( x ) d t 1 - 2 t 2
Determine d y / d x : y = ∫ x 1 6 3 + t 4d t
Determine d y / d x : y = ∫ sec ⁡ x 2 1 t 2 + 1d t
Determine d y / d x : y = ∫ 1 e x ln ⁡ t 2 + 1d t
Determine d y / d x se y = ∫ cos ⁡ x 0 1 1 - t 2d t . Explique as principais etapas de seu cálculo.