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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 1j

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

y = e - x 2

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar x ' e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Vamos então aplicar:

y ' = e - x 2 ' = e - x 2 - x 2 ' = e - x 2 - 2 x 2 - 1 = e - x 2 - 2 x = - 2 x e - x 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de y ' :

- 2 x = 0

Assim:

Temos que y ' > 0 em:

- ∞ , 0

E em y ' < 0 :

0 , + ∞

Assim:

y é estritamente crescente em - ∞ , 0

y é estritamente decrescente em 0 , + ∞

Passo 3

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de y para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ e - x 2 = 0

lim x → - ∞ ⁡ e - x 2 = 0

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

y é estritamente crescente em - ∞ , 0

y é estritamente decrescente em 0 , + ∞

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59. Use a Definição 4.1.1 para provar que:a) Se f for crescente nos intervalos a ,c e c ,b , então f será crescente em a ,b .
56. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam positivas e crescentes em - ∞ ,+ ∞ e com as quais f g tem a propriedade indicada.a) f g é decrescente em - ∞ ,+ ∞ .
Seja y = 1 1 + x 2 . Encontre os valores de x nos quais y está crescendo e decrescendo mais rapidamente.
53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.53. a) Se f e g forem crescentes em um intervalo, então f + g també
55. Em cada parte, encontre funções f e g que sejam crescentes em - ∞ ,+ ∞ e com as quais f - g tem a propriedade indicada.c) f - g é crescente em - ∞ ,+ ∞ .