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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 29

Prove a propriedade comutativa da convolução f * g = g * f

Passo 1

E aí cara, tudo bem?

Então ta, vamos lá

Pra começar, temos que

f * g = int_0^t f (tau) . g (t - tau) d tau ( I )

g * f = int_0^t g (tau) . f (t - tau) d tau ( I I )

E aí queremos provar essas expressões são iguais né?

Vamos chamar uma variável u tal que:

u = t - tau -> d u = - 1 d tau = - d tau

E a partir disso, temos que

tau = t - u

Limites de integração:

S e tau -> 0 , u -> t

S e tau -> t , u -> 0

Substituindo em ( I ) :

f * g = int_t^0 f (t - u) . g (u) ( - d u )

f * g = - int_t^0 f (t - u) . g (u) d u

Podemos inverter os limites de integração acrescentando um sinal de menos:

f * g = - (- int_0^t f (t - u) . g (u) d u)

f * g = int_0^t f (t - u) . g (u) d u

Que é exatamente a expressão ( I I )

Portanto, f * g = g * f

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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