Prove a propriedade comutativa da convolução f \* g = g \* f

Passo 1

E aí cara, tudo bem?

Então ta, vamos lá

Pra começar, temos que

f * g = ∫ 0 t f τ . g t - τ d τ     ( I )

g * f = ∫ 0 t g τ . f t - τ d τ     ( I I )

E aí queremos provar essas expressões são iguais né?

Vamos chamar uma variável u tal que:

u = t - τ → d u = - 1 d τ = - d τ

E a partir disso, temos que

τ = t - u

Limites de integração:

S e   τ → 0 ,   u → t

S e   τ → t ,   u → 0

Substituindo em ( I ) :

f * g = ∫ t 0 f t - u . g u ( - d u )

f * g = - ∫ t 0 f t - u . g u d u

Podemos inverter os limites de integração acrescentando um sinal de menos:

f * g = - - ∫ 0 t f t - u . g u d u

f * g = ∫ 0 t f t - u . g u d u

Que é exatamente a expressão ( I I )

Portanto, f * g = g * f

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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