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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 12

(a) Se f t = t m e g t = t n , em que m e n são inteiros positivos mostre que:

f * g = t m + n + 1 * ∫ 0 1 u m 1 - u n d u

(b) Use o teorema sobre a convolução para mostrar que

∫ 0 1 u m 1 - u n d u = m ! n ! m + n + 1 !

(c) Estenda o resultado do item (b) para o caso em que m e n são números positivos, mas não necessariamente inteiros.

Passo 1

Nosso primeiro passo é mostrar que f * g = t m + n + 1 * ∫ 0 1 u m 1 - u n d u , se f t = t m e g t = t n . Vamos começar.

A expressão f * g representa a convolução das funções f e g . Tudo bem?

A convolução de duas funções é descrita por:

f * g = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

Substituindo as funções na integral ficamos com:

f * g = ∫ 0 t τ m t - τ n d τ

Vamos agora fazer uma mudança de variável:

u = τ t

d u d τ = d d τ τ t

d u d τ = 1 t

t d u = d τ

τ = 0 → u = 0

τ = t → u = 1

Voltando para a equação:

f * g = ∫ 0 t τ m t - τ n d τ

f * g = ∫ 0 t t m t m τ m t n t n t - τ n d τ

f * g = ∫ 0 t t m τ t m t n t - τ t n d τ

Como a integral não é função de t, podemos tirar t m e t n da integral:

f * g = t m t n ∫ 0 t τ t m t - τ t n d τ

Aplicando a mudança de variável:

f * g = t m t n ∫ 0 1 u m 1 - u n t d u

f * g = t m + n + 1 ∫ 0 1 u m 1 - u n d u

Passo 2

O item (b) nos pede para resolver a integral ∫ 0 1 u m 1 - u n d u , usando o teorema sobre a convolução. Sabemos que f t = t m e g t = t n , pelo teorema sobre a convolução:

H s = F s G s = L h t ,

Em que h t = f * g .

Vamos então começar calculando as transformadas F ( s ) e G ( s ) . De acordo com a tabela 6.2.1:

f t = t m → F s = m ! s m + 1

g t = t n → G s = n ! s n + 1

Então, a transformada H ( s ) :

H s = m ! s m + 1 x n ! s n + 1

H s = m ! n ! s m + n + 2

H s = m + n + 1 ! m + n + 1 ! x m ! n ! s m + n + 2

H s = m ! n ! m + n + 1 ! x m + n + 1 ! s m + n + 2

Para obter a função h ( t ) temos que aplicar a transformada inversa em H ( s ) . Tudo bem?

Pela tabela 6.2.1 do livro:

H s = c a ! s a + 1 → h t = c t a

Para o nosso caso c = m ! n ! m + n + 1 ! e a = m + n + 1 . Então:

h t = m ! n ! m + n + 1 ! t m + n + 1

Igualando h ( t ) e a expressão f * g que obtemos no item anterior:

h t = f * g

m ! n ! m + n + 1 ! t m + n + 1 = t m + n + 1 ∫ 0 1 u m 1 - u n d u

m ! n ! m + n + 1 ! = ∫ 0 1 u m 1 - u n d u

Passo 3

Temos agora que transpor o resultado para qualquer m e n positivos, mas não necessariamente inteiros. Sabemos que f t = t m e g t = t n , pelo teorema sobre a convolução:

H s = F s G s = L h t ,

Em que h t = f * g .

Vamos então calcular as transformadas F ( s ) e G ( s ) . De acordo com a tabela 6.2.1:

f t = t m → F s = Γ ( m + 1 ) s m + 1

g t = t n → G s = Γ ( n + 1 ) s n + 1

Então, a transformada H ( s ) :

H s = Γ ( m + 1 ) s m + 1 x Γ ( n + 1 ) s n + 1

H s = Γ ( m + 1 ) Γ ( n + 1 ) s m + n + 2

H s = Γ ( m + n + 2 ) Γ m + n + 2 x Γ ( m + 1 ) Γ ( n + 1 ) s m + n + 2

H s = Γ ( m + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ m + n + 2 x Γ m + n + 2 s m + n + 2

Para obter a função h ( t ) temos que aplicar a transformada inversa em H ( s ) . Tudo bem?

Pela tabela 6.2.1 do livro:

H s = c Γ ( a + 1 ) s a + 1 → h t = c t a

Para o nosso caso c = Γ ( m + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ m + n + 2 e a = m + n + 1 . Então:

h t = Γ ( m + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ m + n + 2 t m + n + 1

Igualando h ( t ) e a expressão f * g que obtemos no item anterior:

h t = f * g

Γ ( m + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ m + n + 2 t m + n + 1 = t m + n + 1 ∫ 0 1 u m 1 - u n d u

Γ ( m + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ m + n + 2 = ∫ 0 1 u m 1 - u n d u

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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