Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 27
Existem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.
(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a transformada de Laplace.
(b) Diferenciando a equação integrodiferencial um número suficiente de vezes, converta-a em um problema de valor inicial.
(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique se a solução é a mesma que a encontrada no item (a).
Passo 1
Vamos começar relembrando o teorema sobre a convolução. Ele diz que:
Se e existem e
a função é dada por:
Para o nosso exercício:
Então
E ficamos com:
Aplicando a transformada de Laplace:
Aplicando a transformada inversa:
Pela tabela 6.2.1 do livro:
Então
Passo 2
Agora que encontramos a função o exercício nos pede para diferenciar um número suficiente de vezes. Então:
E
Podemos escrever a equação diferencial:
Com as condições de valor inicial:
Passo 3
Vamos agora resolver o problema de valor inicial:
Nosso primeiro passo é aplicar a transformada de Laplace:
Aplicando a transformada inversa:
Usando a tabela 6.2.1 do livro podemos verificar que:
E obtemos a resposta do item (a).
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)