Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 40
Prove que as retas tangentes às curvas e na origem são perpendiculares.
Passo 1
Bom, como o enunciado fala de retas tangentes, vamos precisar calcular as derivadas de cada curva, através disso, poderemos provar que elas são perpendiculares. Como ambas as equações dependem de x e y, e não podemos separá-los, então a gente vai precisar derivar implicitamente:
Passo 2
Vamos resolver primeiro a primeira equação:
Derivando termo a termo, e já resolvendo o lado direito que é simples:
O primeiro termo precisa da Regra da Cadeia, pois y é função de x:
O segundo precisa da Regra do Produto:
Os outros podemos derivar diretamente, e a equação vai ficar assim:
Isolando y’:
Passo 3
Agora a segunda equação:
Seguindo o mesmo raciocínio anterior:
O segundo termo precisa que a gente use a Regra da Cadeia:
E os outros três termos podemos calcular diretamente, ficando com:
Isolando y’:
Passo 4
Agora vamos substituir o ponto , que é onde as retas encontram, em cada uma das equações que obtivemos:
Precisamos que o produto entre as inclinações dê -1, pois isso mostra que as duas retas teriam uma diferença angular de 90 graus entre si:
O que prova que nossas retas são perpendiculares entre si.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)