Dada

f ( x ) = x 2 - 16   s e   x < 4 8 x - 32   s e   x ≥ 4

(a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Determine se f é contínua em 4. (c) determine se f é derivável em 4.

Passo 1

Para a letra (a) o gráfico abaixo mostra em vermelho a primeira parte da função para x < 4 e em azul para x ≥ 4

Passo 2

Como podemos reparar no gráfico, a função é contínua em 4, mas precisamos mostrar isso através dos limites para a letra (b), primeiro fazemos x tender a 4 pela esquerda:

lim x → 4 - f x = lim x → 4 - ⁡ x 2 - 16 = 0

Agora pela direita:

l i m x → 4 + f x = l i m x → 4 - 8 x - 32 = 0

E então resolvemos a função quando x = 4 :

f 4 = 8.4 - 32 = 0

Como todas deram o mesmo resultado, a função é contínua em 4.

Passo 3

Na letra (c) precisamos mostrar que a função é derivável em 4, para isso, aplicamos a definição de derivada com x tendendo a 4 pela esquerda e pela direita:

f - ' 4 = lim x → 4 - ⁡ f x - f ( 4 ) x - 4 = l i m x → 4 - x 2 - 16 - 0 x - 4

f - ' 4 = l i m x → 4 - x + 4 x - 4 x - 4

Simplificando:

f - ' 4 = l i m x → 4 - x + 4

Aplicando o limite:

f - ' 4 = 8

Fazendo agora pela direita:

f + ' 4 = lim x → 4 + ⁡ f x - f ( 4 ) x - 4 = l i m x → 4 + 8 x - 32 - 0 x - 4

f + ' 4 = l i m x → 4 + 8 x - 4 x - 4

f + ' 4 = l i m x → 4 + 8

f + ' 4 = 8

Como os resultados são iguais, f é derivável em 4.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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